Реферат: Полуточка: модель скорости

Каратаев Евгений Анатольевич

Настоящая статья строит модель скорости в рамках модели полуточки и приводит две простых иллюстрации, демонстрирующие и иллюстрирующие модель скорости в общеизвестных случаях поступательной и вращательной скорости. В статье приводится в основном модель скорости, и разбор отдельных случаев скорости и её видов представляется либо темой отдельной статьи, либо большой работы о кинематике, выраженной на языке гиперкомплексных чисел.

Для понимания предлагаемой модели скорости частично повторим основные положения модели полуточки и модели миров.

Точка пространства испытывает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой:

Полуточка: модель скорости

(1)

Считается, что точка Полуточка: модель скоростипринадлежит миру с временем Полуточка: модель скорости:

Полуточка: модель скорости

(2)

В этой статье понятия системы координат и системы отсчёта полагаются совпадающими. Полагается, что положение точки и её состояние измеряются в некоторой идеальной системе, выбираемой наблюдателем по его усмотрению.

Состояния точки в два различных момента времени могут быть определены относительно одной и той же системы координат. Будем полагать, что из первого состояния во второе можно попасть, совершив преобразование системы координат:

Полуточка: модель скорости

(3)

Здесь величина Полуточка: модель скоростиопределяет преобразование, которое следует совершить для такого перехода. При этом Полуточка: модель скоростиесть разность времён этих двух миров:

Полуточка: модель скорости

(4)

Также будем полагать, что эти два состояния разделены друг от друга бесконечно малым расстоянием во времени:

Полуточка: модель скорости

(5)

Под скоростью будем понимать величину, определенную классическим способом: Если величина Полуточка: модель скоростизависит от величины Полуточка: модель скорости, и с течением Полуточка: модель скоростивеличина Полуточка: модель скоростииспытывает изменение, то скоростью называется предел отношения приращений величин Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скорости:

Полуточка: модель скорости

(6)

Ещё одно небольшое отступление нужно сделать для описания и выбора точной модели преобразования Пуанкаре. Дело в том, что пока рассматриваются лишь пространственно-временные преобразования, им в действительности удовлетворяет два различных преобразования:

Полуточка: модель скорости

(7)

и

Полуточка: модель скорости

(8)

Здесь в первом случае используется скалярно-векторное сопряжение, во втором - скалярно-алгебраическое. Для того, чтобы выявить, в чем они различаются с точки зрения группы Пуанкаре, распишем их операторное представление:

Полуточка: модель скорости

(9)

Полуточка: модель скорости

(10)

Полуточка: модель скорости

(11)

Видно, что эти два оператора отличаются псевдоскалярной частью параметра. В силу того, что её можно вынести из оператора преобразования, оба варианта могут быть представлены как:

Полуточка: модель скорости

(12)

Полуточка: модель скорости

(13)

где через Полуточка: модель скоростиобозначен оператор Полуточка: модель скоростис вынесенной псевдоскалярной составляющей из его параметров:

Полуточка: модель скорости

(14)

Таким образом, предстоит сделать выбор между двумя вариантами преобразований: 1) использовать скалярно-векторное сопряжение или 2) использовать скалярно-алгебраическое сопряжение. Выберем вариант 1 с отбрасыванием рассмотрения псевдоскалярной составляющей параметра преобразований в силу того, что пока в наши цели не входит рассмотрение псевдоскалярных преобразований и в силу того, что векторное сопряжение удобнее в силу его линейности.

А именно:

Полуточка: модель скорости

(15)

Полуточка: модель скорости

(16)

Поэтому мы можем выполнить дальнейший вывод более наглядно.

В силу того, что величина Полуточка: модель скоростии её приращение являются скалярами, имеем:

Полуточка: модель скорости

(17)

И в случае когда Полуточка: модель скоростимало, имеем:

Полуточка: модель скорости

(18)

Полуточка: модель скорости

(19)

Используя это соотношение для преобразования полуточки, распишем выражение для преобразования точки:

Полуточка: модель скорости

Полуточка: модель скорости

(20)

Оставив члены первого порядка малости по Полуточка: модель скорости:

Полуточка: модель скорости

(21)

Используя определение полуточки

Полуточка: модель скорости

получим:

Полуточка: модель скорости

(22)

Положив точку функцией величины Полуточка: модель скоростии сравнив с разложением её в ряд Тейлора в окрестности Полуточка: модель скорости, получим:

Полуточка: модель скорости

(23)

Это выражение и является определением скорости точки Полуточка: модель скорости, если она движется во времени Полуточка: модель скорости, испытывая в каждый его момент преобразование Пуанкаре:

Полуточка: модель скорости

(24)

Выражение (23) является скалярно-векторно сопряжённым самому себе:

Полуточка: модель скорости

(25)

То есть абсолютное приращение точки Полуточка: модель скоростивыполняется несмотря на произвольность величины Полуточка: модель скороститак, что точка Полуточка: модель скоростиостается сама себе скалярно-векторно сопряжённой.

Отметим также, что в силу свойства точки Полуточка: модель скоростиверно равенство:

Полуточка: модель скорости

(26)

Далее...

Придерживаясь модели полной группы Пуанкере, мы должны считать величины Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скоростидуальными бикватернионами, имеющими 16 компонент. В силу требования скалярно-векторной сопряжённости самой себе точка часть компонентов имеет нулевыми.

Для понимания дальнейшего вывода представим величины Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скоростив виде, явно содержащем разделение на главную и дуальную части:

Полуточка: модель скорости

Полуточка: модель скорости

(27)

Здесь индексом Полуточка: модель скоростиобозначены главные части, а индексом Полуточка: модель скорости- дуальные. Пользуясь введенным обозначением, распишем выражение скорости:

Полуточка: модель скорости

Сгруппировав главные и дуальные части, получим:

Полуточка: модель скорости

(28)

Используя это разложение в главных и дуальных частях и задавая различные частные случаи величин Полуточка: модель скорости, Полуточка: модель скорости, Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скорости, оценим характер вклада в скорость точки Полуточка: модель скоростиотдельных величин Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скорости. А также найдём их сопоставление отдельным общеизвестным скоростям.

Случай 1.

Зададим точку Полуточка: модель скоростикак дуальный вектор с единичной главной частью:

Полуточка: модель скорости

(29)

а величину Полуточка: модель скоростикак дуальный вектор с нулевой главной частью:

Полуточка: модель скорости

(30)

Тогда, используя разложение (29), найдем скорость точки при таком преобразовании:

Полуточка: модель скорости

(31)

В силу того, что выбрано условие Полуточка: модель скорости, имеем:

Полуточка: модель скорости

(32)

Таким образом, в приведённых выше условиях величина Полуточка: модель скоростиявляется линейной скоростью приращения дуальной части Полуточка: модель скорости. В силу того, что в состав величины Полуточка: модель скоростивходит как полярная, так и дуальная части, то есть:

Полуточка: модель скорости

(33)

то в силу свойств функций Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скорости, определённых как

Полуточка: модель скорости

(34)

Полуточка: модель скорости

(35)

И имеющих свойства сопрягаться:

Полуточка: модель скорости

(36)

Полуточка: модель скорости

(37)

Имеем равенство для первого случая:

Полуточка: модель скорости

(38)

Или: величина Полуточка: модель скоростиявляется линейной скоростью изменения вектора Полуточка: модель скорости.

Случай 2. Выберем величины Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скороститакими, что выполняются следующие условия:

Полуточка: модель скорости

(39)

Используя выражение (29) с этими условиями, получим:

Полуточка: модель скорости

(40)

В силу выбора Полуточка: модель скоростии свойства (38) имеем:

Полуточка: модель скорости

(41)

И, также в силу свойства (38), в выражении скорости остаются члены:

Полуточка: модель скорости

(42)

Переведя величины Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скоростив векторную запись и раскрыв произведение по правилу произведения кватернионов, получим:

Полуточка: модель скорости

(43)

где с помощью скобок [] обозначено традиционное векторное произведение 3-х мерных векторов Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скорости.

Или: величина Полуточка: модель скоростиявляется угловой скоростью вращения вектора Полуточка: модель скорости.

Таким образом, величины Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скоростиимеют всем хорошо известные механические кинематические интерпретации.

Целью настоящей работы было дать модель скорости и её иллюстрация в частных случаях. Поэтому полный разбор сочетаний Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скоростиздесь не рассматривается и автор полагает, что такое рассмотрение должно стать темой отдельной работы, посвящённой именно этому вопросу.

К будущим исследованиям могут быть отнесены: величины Полуточка: модель скоростии Полуточка: модель скорости, а также отдельное исследование главной части точки Полуточка: модель скорости. В данной работе рассматривалась лишь её дуальная составляющая. Но общая модель преобразования Пуанкаре потребовала объединения в одну величину дуальной и главной частей вектора Полуточка: модель скорости, существенно увеличив его размерность. Автор полагает, что будущие исследования покажут оправданность такого объединения. Кроме того, остаётся совершенно нерассмотренной возможность замены скалярно-векторного сопряжения на скалярно-алгебраическое в преобразовании Пуанкаре и следствия такой замены.

©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru