|
| |||
Реферат: Курсовая Работа - Аппроксимация функцийМинистерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технический университет) КУРСОВАЯ РАБОТА
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану) ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Тема: Аппроксимация функций методом наименьших квадратов Автор: студент гр. ИЗ-99-1 /________________/ (Ф.И.О.)
Дата: ___________________ ПРОВЕРИЛ Руководитель проекта ст. преподаватель /________________/ Быкова (должность) Санкт-Петербург 2000 год
Кафедра Информатики и компьютерных технологий КУРСОВАЯ РАБОТА По дисциплине ИНФОРМАТИКА (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану) ЗАДАНИЕ Студенту группы ИЗ-99-1 Брук Б.М. (шифр группы) (Ф.И.О.) 1. Тема проекта: Использование информационных технологий для решения
прикладных задач на примере построения аппроксимации функции методом
наименьших квадратов. Руководитель проекта ст. преподаватель /_______________/ (подпись) (Ф.И.О.) Дата выдачи задания: 7.09.00 Санкт-Петербург 2000 год Аннотация. Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой
работы. В ней рассматриваются вопросы по получению эмпирических формул
методом наименьших квадратов (МНК). Расчеты проведены средствами пакета Страниц - 32, таблиц - 8, рис.5. The Summary The explanatory note presents a report: in which we discuss questions
of the construction of the empirical formulas using method of the least
squares in Microsoft Excel. Also this task is presented in Turbo Pascal Pages - 32, tables - 8, pic.5. Оглавление. Введение. Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов. Как известно, между величинами может существовать точная При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи
исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для
аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. 1. Постановка задачи. Во всех вариантах требуется: 1. Используя метод наименьших квадратов функцию [pic], заданную таблично, аппроксимировать а) многочленом первой степени [pic]; б) многочленом второй степени [pic]; в) экспоненциальной зависимостью [pic]. 2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности. 3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а). 4. Для каждой зависимости построить линию тренда. 5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x. 6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН. 7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию [pic]. 8. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше. 2. Расчетные формулы. 2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает
необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между
величинами x и y , которые получены в результате измерений. |x |[pic] |[pic] |( |[pic] |( |[pic] | Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых [pic] (независимая величина) задается экспериментатором, а [pic] получается в результате опыта. Поэтому эти значения [pic] будем называть эмпирическими или опытными значениями. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу [pic] (2.1.1) Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция [pic], и далее определяются наилучшие значения параметров. Если в эмпирическую формулу (2.1.1) подставить исходные [pic], то
получим теоретические значения [pic], где [pic]. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами [pic] считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции [pic] (2.1.2) будет минимальной. Поясним геометрический смысл метода наименьших квадралтов. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение
общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров. Определение наилучших коэффициентов [pic] входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами. Для того, чтобы найти набор коэффициентов [pic], которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов [pic]: [pic] (2.1.3) Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.1.1) линейна относительно параметров [pic], тогда система (2.1.3) - будет линейной. Конкретный вид системы (2.1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2.1.1). В случае линейной зависимости [pic] система (2.1.3) примет вид: [pic] (2.1.4) Эта линейная система может быть решена любым известным методом В случае квадратичной зависимости [pic] система (2.1.3) примет вид: [pic] (2.1.5) 2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости. В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость [pic] (2.2.1) где [pic]и [pic] неопределенные коэффициенты. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (2.2.1), после чего получаем соотношение [pic] (2.2.2) Обозначим [pic] и [pic] соответственно через [pic] и [pic], тогда зависимость (2.2.1) может быть записана в виде [pic], что позволяет применить формулы (2.1.4) с заменой [pic] на [pic] и [pic] на [pic] . 2.3 Элементы теории корреляции. График восстановленной функциональной зависимости [pic] по результатам
измерений [pic] называется кривой регрессии. Для проверки согласия
построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят
следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная
зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. [pic], (2.3.1) где [pic],[pic] и [pic] ( среднее арифметическое значение соответственно по x и y. Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе [pic] к 1, тем теснее линейная связь между x и y. В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значения
располагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристики
силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение,
интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости. [pic], (2.3.2) где [pic], а числитель характеризует рассеяние условных средних [pic] около безусловного среднего [pic]. Всегда [pic]. Равенство [pic] соответствует некоррелированным
случайным величинам; [pic] тогда и только тогда, когда имеется точная
функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x
корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика ( коэффициент детерминированности. Для его описания рассмотрим следующие величины. [pic] - полная сумма квадратов, где [pic] среднее значение [pic]. Можно доказать следующее равенство [pic]. Первое слагаемое равно [pic] и называется остаточной суммой квадратов. Второе слагаемое равно [pic]и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс данных. Очевидно, что справедливо следующее равенство [pic]. Коэффициент детерминированности определяется по формуле: [pic]. (2.3.3) Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности [pic], который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощью регрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если он равен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различия между фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, если коэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачно для предсказания значений y. Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционное отношение. В случае когда выполняется равенство [pic] то можно считать, что построенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирические данные. 3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel. Вариант №22 Функция y=f(x) задана таблицей 1 Таблица 1 Исходные данные. Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или
экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей Решение. Поскольку в данном примере каждая пара значений [pic] встречается один раз, то между [pic]и[pic] существует функциональная зависимость. Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel. Таблица 2 Расчет сумм. Поясним как таблица 2 составляется. Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения [pic]. Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения [pic]. Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2. Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется. Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2. Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется. Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4. Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется. Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2. Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется. Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2). Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется. Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2). Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется. Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования [pic]. Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26). Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26). Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26). Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26). Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26). Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26). Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26). Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26). Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26). [pic] Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, [pic] решив которую, получим [pic] и [pic]. Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид [pic]. Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Таблица 3 Результаты коэффициентов линейной аппроксимации. В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}. В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}. Далее аппроксимируем функцию [pic] квадратичной функцией [pic]. Для определения коэффициентов [pic], [pic] и [pic] воспользуемся системой [pic] Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему в виде [pic] решив которую, получим [pic], [pic]и [pic]. Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид [pic] . Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Таблица 4 Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации. В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}. В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}. Теперь аппроксимируем функцию [pic] экспоненциальной функцией [pic]. Решив систему, найдем [pic], [pic]. После потенцирования получим [pic]. Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид [pic] . Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Таблица 5 Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации. В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}. В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}. В ячейке G47 записана формула =EXP(G45). Вычислим среднее арифметическое [pic] и [pic] по формулам: [pic] Результаты расчета [pic] и [pic] средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6. Таблица 6 Вычисление средних значений X и Y. В ячейке F49 записана формула =A26/25. В ячейке F50 записана формула =B26/25. Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2. Таблица 7 Вычисление остаточных сумм. Поясним как таблица 7 составляется. Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2). Далее делаем следующие шаги. Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50). Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется. Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2. Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется. Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2. Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется. Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2. Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется. Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу =($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2. Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется. Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу =($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2. Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется. Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования [pic]. Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26). Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26). Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26). Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26). Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26). Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26). Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле [pic] (только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле [pic]. Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8. Таблица 8 Результаты расчета.
Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные. 4. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН. Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше примере. Исследуем характер зависимости в три этапа: 1. Построим график зависимости. 2. Построим линию тренда ([pic], [pic], [pic]). 3. Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения. [pic] Рис.4.1. График зависимости y от x [pic] Рис.4.2. График линейной аппроксимации [pic] Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации. Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации. Примечание: Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости [pic] не совпадает с истинным значением [pic], поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения [pic], а преобразованные значения [pic] с дальнейшей линеаризацией. Таблица 9 5. Программа на языке Pascal. 5.1. Схема алгоритма. Рис.5.1. Блок-схема
program Kramer;
uses CRT;
const
n=25;
type SumX:=SumX+ArrayXY[1,i]; SumY:=SumY+ArrayXY[2,i]; SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i]; SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]); SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]; SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]); SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i]; SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]); SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i]) end; for i:=1 to n do begin S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr); S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr); S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr); Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]); Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]); end; 5.2. Результаты расчета Pascal.
Коэффициенты квадратичной функции a1= 1.59678 a2=-0.62145 a3= 0.95543 Коэффициенты экспоненциальной функции
a1= 1.65885
a2= 0.40987
c= 0.50613 Коэффициент корреляции 0.96196 Заключение. Сделаем заключение по результатам полученных данных: Список литературы. 1. Ахметов К.С. Windows 95 для всех. - М.:ТОО "КомпьютерПресс", 1995. Высшая школа, 1991. Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб, 1999 ----------------------- [pic] Конец Вывод полученных результатов на экран. Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности по формулам (2.3.1.) и (2.3.3.) соответственно. Вычисление среднего арифметического x и y Аппроксимация функции y=f(x) линейной, квадратичной и экспоненциальной функциями [pic],[pic],[pic]. Ввод исходных значений x(i) и y(i) согласно таблице 1 Начало [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
|
|