| |||
Реферат: Операторы в вейвлетном базисе
Факультет прикладной математики и информатики Кафедра математической физики ГРОМОВА МАРИЯ МИХАЙЛОВНА ОПРЕАТОРЫ В ВЕЙВЛЕТНОМ БАЗИСЕ Курсовая работа студентки 4 курса Научный руководитель: Глушцов Анатолий Ильич кафедры МФ кандидат физ.-мат. наук Минск 2004 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ………..………………………………………………………..3 1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ………………...5 2. БЫСТРОЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ….……………………...9 3. ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТЫ…………………………………………..12 4. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ………………………………………….13 4.1. Матричное умножение………………………………………...13 4.2. Обращение матрицы…………………………………………...16 4.3. Вычисление экспоненты, синуса и косинуса от матрицы.….16 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………18 ВВЕДЕНИЕ Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого
оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих
применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального
разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа
функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет- преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик. Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным
недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность
к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов. В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с
проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной
компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными
колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные
преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком
окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания
одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных
диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева. 1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ Определение 1. Многомасштабный анализ (multiresolutional analysis) – разложение гильбертова пространства L2(Rd), d(1, в последовательность замкнутых подпространств [pic], (1.1)
обладающих следующими свойствами: 2. Для любого f( L2(Rd), для любого j( Z, f(x)(Vj тогда и только
тогда, когда
f(2x) (Vj-1, [pic], (1.2) и представим пространство L2(Rd) в виде прямой суммы [pic] (1.3) Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью: [pic] (1.4) и получить [pic] (1.5) Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать [pic], V0( L2(Rd) (1.6) вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V0 конечномерно. Функция ( - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию ( - вейвлет - такую, что набор {((x- k)}k(Z образует ортонормальный базис в W0. Тогда [pic], m=0..M-1. (1.7) [pic]. (1.8) [pic], (1.9) где [pic], (1.10) а 2(-периодическая функция m0 определяется следующим образом: [pic]. (1.11) Во-вторых, ортогональность {((x-k)}k(Z подразумевает, что [pic] [pic] (1.13) и [pic]. (1.14) [pic] (1.15) и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем [pic]. (1.16) [pic] (1.17) для коэффициентов hk в (1.11). Заметив, что [pic] (1.18) и определив функцию ( следующим образом: [pic], (1.19) где [pic], k=0,…,L-1 , (1.20) или преобразование Фурье для ( [pic], (1.21) где [pic], (1.22)
можно показать, что при каждом фиксированном масштабе
j(Z вейвлеты Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров Выбранный фильтр Н полностью определяет функции ( и ( и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций ( и ( почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связанные с ( и (. 4. ОПЕРАТОРЫ Сжатие операторов или, другими словами, представление их в разреженном виде в ортонормированном базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов. Нестандартная форма оператора Т с ядром K(x,y) достигается вычислением следующих выражений: [pic] (4.1) [pic] (4.2) [pic] (4.3) 4.1 Оператор d/dx в вейвлетном базисе Нестандартные формы некоторых часто используемых операторов могут быть
вычислены явно. Построим нестандартную форму оператора d/dx. Матричные
элементы [pic], [pic], [pic] матриц [pic], [pic], [pic] и [pic] матрицы [pic] (4.4) [pic] (4.5) [pic] (4.6) [pic] (4.7) где [pic] (4.8) [pic] (4.9) [pic] (4.10) [pic] (4.11) [pic] (4.12) [pic] (4.13) [pic] (4.14) [pic] (4.15) [pic] (4.16) где [pic] [pic] (4.17) Для доказательства Предложения 4.1 можно обратиться к [2]. Для решения системы (4.15)-(4.16) можно также воспользоваться итерационным алгоритмом. Начать можно с [pic] и [pic], а дальше итерировать, используя (4.15) для вычисления [pic]. 4.2 Оператор dn/dxn в вейвлетном базисе Так же как и для оператора d/dx, нестандартная форма оператора dn/dxn полностью определяется своим отображением на подпространство V0, т.е. коэффициентами [pic], l( Z, (4.18)
если интеграл существует. [pic] [pic] (4.20)
где [pic] дано в формуле (4.17). [pic] (4.21) [pic] [pic] (4.22) [pic] (4.23) а для нечетных n [pic] (4.24) [pic] [pic] (4.25)
Линейное интегральное уравнение Фредгольма есть выражение вида [pic],
где ядро [pic], а неизвестная функция f(x) и функция в правой части [pic], [pic] [pic] где коэффициенты Kij вычисляются по формуле [pic], [pic] [pic], [pic], где коэффициенты fi и gi вычисляются по формулам: [pic], [pic], i=1,2,… [pic], i=1,2,… [pic], [pic], [pic], который аппроксимирует K. Тогда интегральное уравнение аппроксимируется системой n уравнений с n неизвестными: [pic], i=1,2,…,n ПРИЛОЖЕНИЕ 1 function [a,r]=dif_r(wname) [LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] = wfilters(wname); R(l,l)=-1; if (2*l |
|