Курсовая работа: Дзета-функция Римана

Курсовая работа

Выполнил студент 2го курса ФМФ группы «Б» Симонян Сергей Олегович

Ставропольский Государственный университет

Кафедра математического анализа

Ставрополь, 2004 г.

Введение.

Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная, степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.

Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X  может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел. Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие отображения.

Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным, графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней наук.

Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства. Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием функции Дзета-функция Римана и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы человечества уже почти 150 лет.

 Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза Римана.

Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет и интересным, и полезным.

Глава 1.

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной области, исходя из её определения с помощью ряда.

Определение. Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

Дзета-функция Римана                                                                                                      (1)

если она существует.

Основной характеристикой любой функции является область определения. Найдём её для нашей функции.

Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R+Дзета-функция Римана{0}. В этом случае Дзета-функция Римана и ряд (1) обращается в ряд Дзета-функция Римана, который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана, которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

01. Перепишем ряд (1) в виде Дзета-функция Римана. Как было выше показано, ряд Дзета-функция Римана сходится, а функции Дзета-функция Римана при s>s0 монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s0 ζ(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

Дзета-функция Римана                                                                                                 (2).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (2) равномерно сходится на промежутке Дзета-функция Римана и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и представим ряд (2) в виде Дзета-функция Римана для s>s0. Множители Дзета-функция Римана, начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана; к промежутку Дзета-функция Римана применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

Дзета-функция Римана.

Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем Дзета-функция Римана. При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому Дзета-функция Римана.

Чтобы исследовать случай Дзета-функция Римана, докажем некоторые вспомогательные оценки.

 Во-первых, известно, что если для ряда Дзета-функция Римана существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция Дзета-функция Римана, определённая на множестве Дзета-функция Римана, такая, что Дзета-функция Римана, и имеет первообразную Дзета-функция Римана, то остаток ряда  оценивается   так: Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана.  Применяя  вышесказанное   к   ряду   (1),   найдём,  что   необходимая  функция

Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем

Дзета-функция Римана                                                            (3). В левом неравенстве положим n=0, тогда Дзета-функция Римана, то есть Дзета-функция Римана. В правом же возьмём n=1 и получим Дзета-функция Римана, далее Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана и, наконец, Дзета-функция Римана. Переходя в неравенствах Дзета-функция Римана к пределу при Дзета-функция Римана, находим Дзета-функция Римана.

Отсюда, в частности, следует, что Дзета-функция Римана. Действительно, положим Дзета-функция Римана. Тогда Дзета-функция Римана, то есть Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Поэтому Дзета-функция Римана. Из того, что Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана, вытекает доказываемое утверждение.  

Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше, принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства Дзета-функция Римана. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму Дзета-функция Римана и вычтем Дзета-функция Римана. Имеем Дзета-функция Римана. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана. Мы пока не знаем, существует ли предел выражения Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана, поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана. Ввиду произвольности n возьмём Дзета-функция Римана. Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (CДзета-функция Римана0,577). Значит Дзета-функция Римана, а, следовательно, существует и обычный предел и Дзета-функция Римана.

 Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения Дзета-функция Римана, где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое Дзета-функция Римана в левую часть равенства. Слева получаем Дзета-функция Римана Дзета-функция РиманаcthДзета-функция Римана, а в правой части - Дзета-функция Римана, то есть Дзета-функция РиманаcthДзета-функция Римана. Заменяем Дзета-функция Римана на Дзета-функция Римана, получаем Дзета-функция РиманаcthДзета-функция Римана.

С другой стороны, существует равенство cthДзета-функция Римана, из которого Дзета-функция РиманаcthДзета-функция Римана. Подстановкой Дзета-функция Римана вместо Дзета-функция Римана находим Дзета-функция РиманаcthДзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Если Дзета-функция Римана, то для любого Дзета-функция РиманаN Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана и по теореме о сложении бесконечного множества степенных рядов Дзета-функция РиманаcthДзета-функция Римана Дзета-функция Римана.     

Приравняем полученные разложения: Дзета-функция Римана 

 Дзета-функция Римана, следовательно Дзета-функция Римана. Отсюда немедленно следует искомая формула

  Дзета-функция Римана                                                                                      (4), где Дзета-функция Римана - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.    

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

Дзета-функция Римана

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

Дзета-функция Римана, где pi – i-е простое число                                             (4).

Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным   Дзета-функция Римана, где    символ    *    означает,     что    суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

Дзета-функция Римана                                                                       (5).

Сумма Дзета-функция Римана содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, Дзета-функция Римана. Из (5) получаем

Дзета-функция Римана                                                                  (6).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а Дзета-функция Римана есть произведение (4). Значит из неравенства при Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана, что и требовалось доказать.

Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив Дзета-функция Римана, а именно показав, что Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана остаётся ограниченным при Дзета-функция Римана.

Из (4) следует, что Дзета-функция Римана, где Дзета-функция РиманаN, а Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана. Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Натуральные логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем Дзета-функция Римана. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что Дзета-функция Римана. Последнее равенство справедливо,  так как Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Далее, очевидно, Дзета-функция Римана, что и завершает доказательство.

На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной интерес представляет  случай изложенный во второй главе.

Глава 2.

Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако, самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали возможны лишь после включения в область определения функции комплексных чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.

Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет Дзета-функция РиманаC. Возникает необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем следующее утверждение: в полуплоскости Дзета-функция Римана (Дзета-функция Римана действительная часть числа x) ряд

Дзета-функция Римана                                                                                                                (1) сходится абсолютно.

Пусть Дзета-функция Римана. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), Дзета-функция Римана. Первый множитель содержит только вещественные числа и Дзета-функция Римана, так как Дзета-функция Римана. Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим Дзета-функция РиманаДзета-функция Римана. Значит, Дзета-функция Римана. Ввиду сходимости ряда Дзета-функция Римана при α>1, имеем абсолютную сходимость ряда (1).

На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно, при всяком q>0 и фиксированном α>1+q, числовой ряд Дзета-функция Римана мажорирует ряд из абсолютных величин Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана, откуда, по теореме Вейерштрасса, следует равномерная сходимость ряда  в полуплоскости Дзета-функция Римана. Сумма же равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является аналитической функцией.

Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к абсолютным величинам.

В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение дзета-функции в произведение Дзета-функция Римана, где s теперь любое комплексное число, такое, что Дзета-функция Римана. Применим его к доказательству отсутствия у функции Дзета-функция Римана корней.

Оценим величину Дзета-функция Римана, используя свойство модуля Дзета-функция Римана: Дзета-функция Римана, где как обычно Дзета-функция Римана. Так как Дзета-функция Римана, то Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана, следовательно, дзета-функция в нуль не обращается.

Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её функциональное уравнение, характеризующее и  однозначно определяющее Дзета-функция Римана.

Для этого нам понадобится формула

Дзета-функция Римана  (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства интегралов можно записать Дзета-функция Римана. Для любого d при Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана,  значит Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана. Дзета-функция Римана. Следовательно, Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана Дзета-функция РиманаДзета-функция РиманаДзета-функция Римана. Интеграл Дзета-функция Римана можно найти интегрированием по частям, принимая Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана; тогда Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана. В результате Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Вычтем из этого интеграла предыдущий и получим Дзета-функция Римана, отсюда легко следует равенство (2).

Теперь положим в (2) Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана, a и b – целые положительные числа. Тогда Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Пусть сначала Дзета-функция Римана, примем a=1, а b устремим к бесконечности. Получим Дзета-функция Римана. Прибавим по единице в обе части равенств:

Дзета-функция Римана                                                                        (3).

Выражение Дзета-функция Римана является ограниченным, так как Дзета-функция Римана, а функция Дзета-функция Римана абсолютно интегрируема на промежутке Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана, то есть при Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана. Значит, интеграл Дзета-функция Римана абсолютно сходится при Дзета-функция Римана, причём равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа от прямой Дзета-функция Римана. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной s, регулярную при Дзета-функция Римана. Поэтому правая часть равенства (3) представляет собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость Дзета-функция Римана и имеет там лишь один простой полюс в точке Дзета-функция Римана с вычетом, равным единице.

Для Дзета-функция Римана можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При Дзета-функция Римана имеем Дзета-функция Римана, значит, Дзета-функция Римана иДзета-функция Римана. Теперь при Дзета-функция Римана (3) может быть записано в виде Дзета-функция Римана.

Немного   более  сложными  рассуждениями  можно   установить,  что   в действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость Дзета-функция Римана. Положим Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана, то есть Дзета-функция Римана  первообразная для Дзета-функция Римана. Дзета-функция Римана ограничена, так как Дзета-функция Римана, а интеграл Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана ограничен из-за того, что Дзета-функция Римана. Рассмотрим интеграл Дзета-функция Римана при x1>x2 и Дзета-функция Римана. Проинтегрируем его по частям, приняв Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана, тогда Дзета-функция Римана, а по указанному выше утверждению Дзета-функция Римана. Получаем Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Возьмём Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана. Имеем Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана,  потому  что  Дзета-функция Римана  является   ограниченной   функцией.   Значит,

 Дзета-функция Римана                                                                        (4).

Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла Дзета-функция Римана, если Дзета-функция Римана, и ограниченностью функции Дзета-функция Римана, делаем вывод, что в левой части равенства (4) интеграл тоже сходится при Дзета-функция Римана. Значит формулой (3) можно продолжить дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой Дзета-функция Римана.

Нетрудно установить, что для отрицательных Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана, поэтому из (3) имеем

Дзета-функция Римана                                                                                        (5) при Дзета-функция Римана.

Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо разложение в ряд

Дзета-функция Римана                                                                                     (6).

Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:

Дзета-функция Римана. Сделаем в полученном интеграле подстановку Дзета-функция Римана, отсюда следует Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана, и получим далее Дзета-функция Римана. Известно, что Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана, значит Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Из известного соотношения для гамма-функции Дзета-функция Римана, по формуле дополнения Дзета-функция Римана, следовательно Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана

Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана

Дзета-функция Римана                                                                     (7),

которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция Дзета-функция Римана, удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям, тождественна с Дзета-функция Римана.

Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для Дзета-функция Римана. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией s и при Дзета-функция Римана. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких особенностей, кроме упоминавшегося полюса при Дзета-функция Римана.

Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном отрезке допустимо. Ввиду Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана для любого Дзета-функция Римана, остаётся доказать, что Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана. Но интегрируя внутренний интеграл по частям   имеем Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана. Отсюда без труда получается наше утверждение.

Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство

Дзета-функция Римана                                                                        (8). Из него можно получить два небольших следствия.

Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем Дзета-функция Римана. По формуле (4) первой главы Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана, а Дзета-функция Римана, поэтому Дзета-функция Римана и произведя в правой части все сокращения, учитывая, что Дзета-функция Римана, получим Дзета-функция Римана.

Покажем ещё, что Дзета-функция Римана. Для этого прологарифмируем равенство (8): Дзета-функция Римана  Дзета-функция Римана и результат продифференцируем Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. В окрестности точки s=1 Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана, где С – постоянная Эйлера, а k – произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим Дзета-функция Римана, то есть Дзета-функция Римана. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 Дзета-функция Римана, значит, действительно, Дзета-функция Римана.

Глава 3.

Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим Дзета-функция Римана, отсюда Дзета-функция Римана и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при Дзета-функция Римана 

Дзета-функция Римана                                                                                          (1). Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.

Теперь перепишем (1) в виде Дзета-функция Римана. Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд Дзета-функция Римана расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана, … , Дзета-функция Римана.

Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции Дзета-функция Римана, то есть количества простых чисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана, мы сейчас получим равенство

Дзета-функция Римана                                                                                      (2).

Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: Дзета-функция Римана. Из логарифмического ряда Дзета-функция Римана, учитывая, что Дзета-функция Римана, приходим к ряду Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Значит, Дзета-функция Римана.

Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана, то Дзета-функция Римана. Во внутреннем интеграле положим Дзета-функция Римана, тогда Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана, отсюда Дзета-функция Римана.В промежутке интегрирования Дзета-функция Римана, поэтому верно разложение Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Получаем Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Теперь Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для Дзета-функция Римана, то увидим, что они тождественны и равенство (2) доказано.

Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что Дзета-функция Римана.

В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.

Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно Дзета-функция Римана, то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Тогда

Дзета-функция Римана                                                                                   (3). Этот интеграл имеет нужную форму, а Дзета-функция Римана не повлияет на асимптотику Дзета-функция Римана. Действительно, так как Дзета-функция Римана, интеграл для Дзета-функция Римана сходится равномерно в полуплоскости Дзета-функция Римана, что легко обнаруживается сравнением с интегралом Дзета-функция Римана. Следовательно, Дзета-функция Римана регулярна и ограничена в полуплоскости Дзета-функция Римана. То же самое справедливо и относительно Дзета-функция Римана, так как Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана.

Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем Дзета-функция Римана. Обозначим левую часть через Дзета-функция Римана и положим Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана, (Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана и Дзета-функция Римана полагаем равными нулю при Дзета-функция Римана). Тогда, интегрируя по частям, находим Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана, или Дзета-функция Римана.

Но Дзета-функция Римана непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как Дзета-функция Римана, то Дзета-функция Римана (Дзета-функция Римана) и Дзета-функция Римана (Дзета-функция Римана). Следовательно, Дзета-функция Римана абсолютно интегрируема на Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана. Поэтому Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана, или Дзета-функция Римана при Дзета-функция Римана. Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как Дзета-функция Римана ограниченна при Дзета-функция Римана, вне некоторой окрестности точки Дзета-функция Римана. В окрестности Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана и можно положить Дзета-функция Римана, где Дзета-функция Римана ограниченна при Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана и имеет логарифмический порядок при Дзета-функция Римана. Далее, Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой Дзета-функция Римана, то есть Дзета-функция Римана. Во втором члене можно положить Дзета-функция Римана, так как Дзета-функция Римана имеет при Дзета-функция Римана лишь логарифмическую особенность. Следовательно, Дзета-функция Римана. Последний интеграл стремится к нулю при Дзета-функция Римана. Значит,

Дзета-функция Римана                                                                                                            (4).

Чтобы перейти обратно к Дзета-функция Римана, используем следующую лемму.

Пусть Дзета-функция Римана положительна и не убывает и пусть при Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Тогда Дзета-функция Римана.

Действительно, если Дзета-функция Римана - данное положительное число, то Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана (Дзета-функция Римана). Отсюда получаем для любого Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана Дзета-функция Римана. Но так как Дзета-функция Римана не убывает, то Дзета-функция Римана. Следовательно, Дзета-функция Римана. Полагая, например, Дзета-функция Римана, получаем Дзета-функция Римана.

Аналогично, рассматривая Дзета-функция Римана, получаем Дзета-функция Римана, значит Дзета-функция Римана, что и требовалось доказать.

Применяя лемму, из (4) имеем, что Дзета-функция Римана, Дзета-функция Римана, поэтому Дзета-функция Римана и теорема доказана.

Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку использованной литературы.

Список литературы

Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том II. М.,1970 г.

Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.,1999 г.

Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.,1987 г.

Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.


©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru