Реферат: Исследование операций

Московский государственный

Горный университет

Курсовой проект по исследованию операций.

Решение задачи методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования.

Выполнил студент группы

ПМ – 1 – 97
Солодовников Д. А.

Научный руководитель:
Багрова Г.И.

Москва 1999 г.

Содержание:

Цель курсовой работы ……………………………………………………………..3
Линейное программирование ……………………………………………………..4
Решение задачи методом линейного программирования ……………………….6
Целочисленное линейное программирование …………………………………...9
Решение задачи методом целочисленного линейного программирования …...10
Нелинейное программирование ………………………………………………….15
Решение задачи нелинейного программирования ………………………………15
Динамическое программирования ………………………………………………..20
Решение задачи динамического программирования …………………………….21
Графическая интерпретация решений ……………………………………………25
Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27
О проекте …………………………………………………………………………...28

Цель курсовой работы.

Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования. Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.
Задание:
Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов.
Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну.
Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 –
29,9%.

| | | |
|Наименовани|Единицы |Предприятия |
|е |Измерения | |
|показателя | | |
| | | | | |
| | |1 |2 |3 |
| | | | | |
| | | | | |
|Max добыча |тыс. тонн |740 |680 |600 |
|ПИ | | | | |
|Содержание | | | | |
|полезного |% |29,1 |29,8 |30,8 |
|компонента | | | | |
| | | | | |
|Извлечение |% |80 |75 |70 |
|Затраты на | | | | |
|добычу, |у.е. /т |6 |7 |8 |
|транс-порти| | | | |
|ровку и | | | | |
|переработку| | | | |
|Производите| | | | |
|льность |тыс. тонн |120 |110 |106 |
|Состава | | | | |
|Коэффициент| | | | |
|увеличения | | | | |
|затрат при | | | | |
|нагрузке: | | | | |
|До 30% -| |1,8 |1,7 |1,9 |
| | |1,7 |1,5 |1,7 |
|31 – 50% -| |1,6 |1,4 |1,6 |
| | |1,4 |1,2 |1,3 |
|51 – 70% -| |1 |1 |1 |
| | | | | |
|71 – 100%- | | | | |
|максимально| | | | |
|й | | | | |

В курсовом проекте введены следующие условные обозначения:
ЛП – линейное программирование;
ЦЛП – целочисленное линейное программирование;
ДП - динамическое программирование.

Линейное программирование.

Основная задача линейного программирования:
Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции.
1) Первый канонический вид: a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn[pic]b1 a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn[pic]b2

…………………………………… ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxn[pic]bi

.…………………………………… am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn[pic]bn

xj[pic]0; j=1,n; i=1,m;

Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxn[pic]max (min);

2) Второй канонический вид: a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn+y1=b1 a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn+y2=b2

……………………………………… ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxn+yi=bi

.……………………………………… am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn+ym=bn

xj[pic]0; j=1,n; i=1,m;

Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxn[pic]max (min);

Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду.

Теоремы линейного програмирования:

Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло.

Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.


При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи:
1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1).
2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2).
3) Система ограничений имеет конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3).
4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4).

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3

Рис. 1.4

C

a b

Рис. 2

Симплекс – метод.
Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа:

1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции.
2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями.
3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.
Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается
(уменьшается) значение целевой функции.

В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.

Решение задачи методом линейного программирования.

Симплекс – метод.

Определить плановое задание добывающим предприятиям, если в работе находится N=12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание Ме (полезного компонента) в пределах 29,9 – 29,9 %


| | | |
|Наименовани|Единицы |Предприятия |
|е |Измерения | |
|показателя | | |
| | | | | |
| | |1 |2 |3 |
| | | | | |
| | | | | |
|Max добыча |тыс. тонн |740 |680 |600 |
|ПИ | | | | |
|Содержание | | | | |
|полезного |% |29,1 |29,8 |30,8 |
|компонента | | | | |
| | | | | |
|Извлечение |% |80 |75 |70 |
|Затраты на | | | | |
|добычу, |у.е. /т |6 |7 |8 |
|транс-порти| | | | |
|ровку и | | | | |
|переработку| | | | |
|Производи-т| | | | |
|ельность |тыс. тонн |120 |110 |106 |
| | | | | |
|Состава | | | | |

x1, x2, x3 – количество составов выделенных соответственно предприятиям
1, 2 и 3.

Ограничения:
. По количеству составов:

[pic], где n – количество предприятий, N – количество составов.
1. x1 + x2 + x3[pic]12
. По максимальному объему добычи руды с каждого из предприятий:

[pic], где [pic]
2. 120x1 [pic] 740 или x1[pic]6,16666 (для предприятия 1);
3. 110x2 [pic] 680 или x2[pic] 6,18181 (для предприятия 2);
4. 106x3 [pic] 600 или x3 [pic] 5,6603 (для предприятия 3).
. По содержанию полезного компонента в руде: по формуле:

[pic] где
(min – минимально допустимое содержание полезного компонента в руде,
(max – максимально допустимое содержание полезного компонента в руде,
(i – содержание полезного компонента в руде i – того предприятия, qi – производительность состава i – того предприятия, имеем:

[pic]

[pic]

Упростим неравенства 5, 6:
5. 34,92x1 + 32,78x2 + 32,648x3 – 35,76x1 – 32,78x2 – 31,588x3[pic]0

-0,84x1 + 1,06x3[pic]0; (ограничение по минимально допустимому содержанию полезного компонента в руде);
6. 34,92x1 + 32,78x2 + 32,648x3 – 35,88x1 – 32,89x2 – 31,694x3[pic]0

-0,96x1 – 0,11x2 + 0,954x3[pic]0

0,96 x1 + 0,11x2 – 0,954x3[pic]0; (ограничение по максимально допустимому содержанию полезного компонента в руде);

Целевая функция:

[pic][pic] , где [pic]- цена готовой продукции (у.е. за тонну);
[pic] [pic]

Z = 676800x1 + 459250x2 + 294660x3[pic]
Или в тыс. тонн:

Z = 676,8x1 + 459,25x2 + 294,66x3[pic]

Вывод:
В результате решения данной задачи было получено значение целевой функции
Z = 6048,2412; x1 = 6,16667 – количество составов для предприятия 1; x2 = 0,94654 – количество составов для предприятия 2; x3 = 4,88679 – количество составов для предприятия 3;
Для получения наибольшей выгоды (целевая функция стремящаяся к максимуму достигает своего экстремума) необходимо выполнение предприятиями следующего плана:
Предприятие 1 - Р(план) = 740 – y2 = 740 – 0 = 740 тыс. тонн,
Предприятие 2 – Р(план) = 680 – y3 = 680 – 575,88043 = 104,11957 тыс. тонн,
Предприятие 3 – Р(план) = 600 – y4 = 600 – 82,00002 = 517,99998 тыс. тонн.

Целочисленное линейное программирование.
При решении некоторых задач линейного программирования бывает необходимо получить целочисленное решение, которое находится методами целочисленного линейного программирования.
Задача целочисленного линейного программирования это задача, где некоторые или все переменные должны принимать строго целочисленные значения, а целевая функция и ограничения – линейные.
В некоторых задачах целочисленные значения могут быть равны только 0 или
1, тогда такие задачи называются задачами с булевыми переменными.
Задачу целочисленного линейного программирования можно решить как задачу линейного программирования, а затем округлить полученное решение. Однако такой способ допустим только при условии, что значения переменных настолько большие, что погрешностью, вызываемой округлением можно пренебречь. Если же в результате решения переменная принимает малое значение, то ее округление может привести к очень далекому от оптимального решения. Применяются два способа решения задач ЦЛП – метод отсечений и метод ветвей и границ.

Решение задачи ЦЛП методом отсечения:
1. Решение задачи как задачи ЛП.
2. Если мы получили целочисленное решение, то оно и является решением задачи ЦЛП.
3. Если мы получаем нецелочисленное решение, то мы к системе ограничений задачи ЛП прибавляем такое ограничение, что полученное нецелочисленное оптимальное решение не может содержаться во множестве допустимых решений и, таким образом, формируем новую задачу ЛП и решаем ее. Цикл повторяется до тех пор пока не будет получено целочисленное решение

(решение задачи ЦЛП (если оно существует)).

Решение задачи ЦЛП методом ветвей и границ:
1. Решаем задачу как задачу ЛП.
2. Если мы получим оптимальные целочисленные решения задачи ЛП, то они являются также и оптимальными решениями задачи ЦЛП.
3. Если мы не получим целочисленных решений, то целевая функция Z1 задачи

ЛП становится верхней границей оптимального значения Z задачи ЦЛП, потому что значение целевой функции Z при введении в дальнейшем новых ограничений для получения оптимальных целочисленных решений уменьшается.
4. Затем производится ветвление по одному из нецелочисленных оптимальных решений задачи ЛП. Ветвление осуществляется с использованием некоторых правил по следующей схеме: если n[pic]x[pic]n+1, то 1) x[pic]n;

2) x[pic]n+1, где х – нецелочисленное оптимальное решение задачи ЛП, по которому мы осуществляем ветвление, n – ближайшее целое к х не превышающее х.
Правила ветвления:
1) Выбирается переменная, у которой дробная часть наиболее близка к 0,5.
2) Выбирается переменная с наибольшим приоритетом по какому — либо качественному или количественному значению.
3) Переменная выбирается произвольно.
Ограничения введенные при ветвлении добавляются к ограничениям задачи ЛП.
В каждой из вершин находим оптимальные решения полученных путем добавления новых ограничений задач ЛП – 2 и ЛП – 3. Если не у одной из них мы не получили целочисленных оптимальных решений, то мы выбираем ту вершину, в которой получено наибольшее значение целевой функции и производим дальнейшее ветвление. Так продолжается до получения целочисленного оптимального решения одной из задач ЛП.
Вершина называется прозондированной, если:
1) Мы нашли в ней оптимальное целочисленное решение – решение задачи ЦЛП.
2) В данной вершине нет оптимальных решений задачи ЛП.
3) Значение Z в оптимальном решении задачи ЛП не больше текущей нижней границы.
Прочие вершины называются висящими.

Решение задачи методом целочисленного линейного программирования.

Метод ветвей и границ.

Начальные условия берутся из решения задачи ЛП (решение см. выше).


1. Вершина 1 x1 = 6,17 x2 = 0,9 x3 = 4,9 Z1 = 6048,24
Начнем ветвление по x1 = 6,17, тогда получаем дополнительные ограничения а) x1 [pic] 6 (1 ветвь) б) x2 [pic] 7 (2 ветвь).

Решаем сначала ветвь 1. К ограничениям задачи ЛП добавляем ограничение а.
Получаем седьмым ограничением ограничение x1 [pic] 6;

Решение:


2. Вершина 2 x1 = 6 x2 = 1,2 x3 = 4,8 Z2 = 6033,7212
Мы получили одно целочисленное решение x1 = 6, следовательно дальнейшее ветвление мы будем проводить по x2 или x3.


Решаем ветвь 2. К ограничениям задачи ЛП добавляем ограничение б.
Седьмым ограничением становится ограничение x1 [pic] 7.

Решение:


Второй строкой является ограничение задачи ЛП по максимально возможному объему руды с 2 предприятия:
120x1 [pic] 740 или x1[pic]6,16666, что противоречит введенному нами условию 6 (б) x1 [pic] 7. Дальнейшее ветвление из вершины 3 невозможно.

Продолжим ветвление из вершины 2. Как было уже сказано выше, мы можем продолжить ветвление по x2 или x3. Продолжим ветвление по x2. x2 = 1,2, следовательно восьмое ограничение для 1 ветви будет x2 [pic] 1, а для другой x2[pic]. Движемся сначала по ветви 1 в вершину 4.
Решение:
X1 = 6 x2 = 1 x3 = 5 Z4 = 5993,3501
Мы получили, что все три переменных имеют целочисленное значение, но, чтобы данное решение являлось решением задачи ЦЛП необходимо и достаточно показать, что при ветвлении по ветви 2 в вершине 5 мы получим значение целевой функции Z5 < Z4. Найдем решение в вершине 5.

Решение:


Z5 = 5991,0396, следовательно Z5 < Z4, значит в вершине 4 мы получили решение задачи ЦЛП.

Интерпретация решения с помощью блок – схемы:

x1=6,1

Z1=6048 x2=0,9

x3=4,9

x1[pic]6 x1[pic]7

x1=6 x2=1,2

Система x3=4,8 несовместна

x2[pic]1 x2[pic]2

x1=6 x1=5,6

x2=1 x2=2 x3=5 x3=4


Z=5993 Z=5991

| Вершина | Ограничение | № |
| | |ограничения |
| 2 | | |
| |x1[pic]6 |7 |
| 3 | | |
| |x1[pic]7 |7 |
| 4 | | |
| |x1[pic] 6 |7 |
| |x2[pic]1 |8 |
| 5 | x1[pic]6 | |
| |x2[pic]2 |7 |
| | |8 |

Вывод:
В результате решения я получил, что целочисленное оптимальное решение получается в вершине 4, так как все значения x1=6, x2=1,x3=5 в этой вершине целочисленные и Z5(5991) 8000). Следовательно своего максимального значения целевая функция достигает в самой нижней точке области относительно целевой функции (в той точке, через которую график целевой функции будет проходить первым при уменьшении целевой функции). Обозначим эту точку на графике A. Координаты точки A (0,95;4,89). x2 = 0,95; x3 =

4,89, что соответствует решению с помощью симплекс – метода.
2. Задача ЦЛП.

Максимального значения целевая функция задачи ЦЛП достигает при x2 = 1, x3 = 5. На графике решение задачи ЦЛП – точка B с координатами (1;5).
3. Задача нелинейного программирования. x2 = 0,17, x3 = 5,66. На графике точка C с координатами (0,17;5,66).
4. Задача ДП. x2 = 2, x3 = 6. На графике точка D с координатами (2;6).

Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.
| | ЛП | ЦЛП |Нелинейное | ДП |
|Метод | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
|Свойство | | | | |
|Использовани|Небольшое |Большое |Большое | |
|е |(1 проход) |(много |(много |НЕТ |
|Симплекс – | |проходов) |проходов) | |
|метода и ПК | | | | |
|Размер |Низкий |Низкий |Средний | Большой |
|расчетов без|(только |(только |(расчет |(все |
|ПК |расчет |расчет |дохода, |расчеты |
| |плановых |плановых |прибыли, |производятс|
| |заданий) |заданий) |затрат, |я вручную) |
| | | |плановых | |
| | | |заданий) | |
|Размер |Низкий |Средний |Высокий |Очень |
|подготовител|(только |(ограничени|(ограничени|большой |
|ьных и |ограничения|я ЛП + |я ЛП + | |
|промежуточны|) |ветвление) |составление| |
|х расчетов | | |таблицы + | |
| | | |промежуточ-| |
| | | |ные | |
| | | |подстановки| |
| | | |коэффициен-| |
| | | |тов) | |
|Общее время | Низкое| Среднее | Среднее| Высокое|
|решения | | | | |
|Чувствитель-| Есть | | | |
|ность к | |Есть |Есть |Нет |
|ограничениям| | | | |
|по | | | | |
|содержанию | | | | |
|полезного | | | | |
|компонента в| | | | |
|руде | | | | |
|Использовани| | | | |
|е |Нет |Нет |Есть |Есть |
|коэффициента| | | | |
|увеличения | | | | |
|затрат при | | | | |
|нагрузке | | | | |
|Размер |Максимальны| | Средний| |
|целевой |й |Средний | |Низкий |
|функции |6048,2412 |5993,3501 |5827,1611 |4249,38 |
|Общая | Низкая| Средняя |Средняя (не| |
|эффективност|(не |(не |учитывается|Средняя |
|ь и |учитывается|учитывается|целочислен-|(низкая |
|приближеннос| |коэффициент|ность |прибыль) |
|ть условий к|коэффициент|изменения |решения) | |
|реальным |изменения |затрат) | | |
| |затрат и | | | |
| |целочислен-| | | |
| | | | | |
| |ность | | | |
| |решения) | | | |

О проекте.
Проект выполнен студентом второго курса факультета РПМ Московского государственного горного университета Солодовниковым Дмитрием.
Использованная литература:
. Резниченко С.С., Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в горной промышленности. – М.: Издательство Московского горного университета, 1997, 404 c.

-----------------------

1

2

4

5

3


[pic]

©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru