|
| |||
Реферат: Решение обратной задачи вихретокового контроляСодержание 1. Техническое задание Разработать алгоритм решения обратной задачи вихретокового контроля Задача заключается в определении, в рамках допустимой погрешности, зависимости электропроводности (ЭП) от глубины ((Н) в ОК для данного состояния. Метод контроля заключается в измерении определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС на различных частотах с помощью накладного вихретокового преобразователя (НВТП). Необходимо выбрать математическую модель задачи, способ аппроксимации искомого решения, рассмотреть алгоритм решения. Используя программную реализацию, исследовать поведение погрешности аппроксимации зависимости ((Н) от следующих факторов: 1. От величины приборной погрешности измерения ЭДС 2. От вида зависимости электропроводности от глубины ((Н) 3. От параметров аппроксимации решения 4. От диапазона частот возбуждения ВТП
Основная задача вихретокового контроля с помощью накладных преобразователей состоит из двух подзадач: . Прямой задачи расчета вносимой ЭДС в присутствии немагнитного проводящего листа с произвольной зависимостью ЭП по глубине. . Обратной задачи нахождения зависимости ЭП как функции глубины в немагнитном проводящем листе по результатам измерений определенного количества комплексных значений вносимой ЭДС. 2.1 Прямая задача ВТК Полагая зависимость ЭП от глубины известной проведем ее кусочно-
постоянную аппроксимацию. Это позволяет свести исходную задачу к расчету Как показано в работе [50], подобная модель вполне адекватно описывает задачу и дает отличное согласование с результатами опытов. Рекуррентные формулы для произвольного количества слоев хорошо известны 2.2 Обратная задача ВТК С математической точки зрения обратная задача ВТК относится к классу некорректных задач[49] и ее решение неустойчиво т.е. при сколь угодно малой погрешности исходных данных( набора измеренных вносимых ЭДС ) погрешность решения ( рассчитанных локальных значений ЭП ) может быть сколь угодно большой, а одному набору измерений может отвечать много (формально бесконечно много) распределений ЭП по глубине. При попытке расчета некорректной задачи как корректной, вычислительный процесс за счет неустойчивости сваливается в заведомо худшую сторону. В нашем случае это означает получение распределения ЭП, которое, хотя и обеспечивает требуемое совпадение измеренной и вычисленной ЭДС, но является явно нереальным из-за осцилляций. Следует отметить, что амплитуда и частота осцилляций распределения ЭП растут при увеличении числа независимых параметров аппроксимации ЭП ( коэффициентов полинома в случае полиномиальной аппроксимации, количества узлов при сплайн-аппроксимации и т.д.). При наличии погрешности измерения вносимой ЭДС, превышающей на несколько порядков вычислительную погрешность и на практике составляющей не менее (0.5-1)% от измеряемого сигнала, ситуация значительно осложняется. Учитывая вышеизложенное для выделения из множества допустимых распределений решения, наиболее удовлетворяющего физической реальности, в алгоритмах решения обратной задачи необходимо использовать дополнительную априорную информацию. На практике это реализуется введением некоторых критериев, позволяющих отличить решение, отвечающее практике, от физически нереального. Для решения обратной задачи ВТК предлагались три возможные стратегии[46]: 1. Решение большого числа прямых задач и табуляция результатов для различных моделей. Измеренные данные с помощью некоторых критериев сравниваются с таблицей. Подход очень экстенсивный и требующий проведения избыточного числа расчетов, поэтому на практике встречающийся редко. 2. Условная минимизация невязки измеренных и расчитанных данных. Очень мощный и универсальный метод, широко распространен для решения обратных задач в различных областях техники [41,44,49]. Позволяет восстанавливать произвольное распределение ЭП по глубине (вообще говоря произвольное 3D распределение), но требуется довольно сложная процедура расчета. В нашем случае остановимся на втором подходе, поскольку он сочетает в себе универсальность, точность и относительную простоту реализации. В целом процесс решения обратной задачи сводится к итерационному решению прямой задачи для текущей оценки распределения ЭП и внесению изменений в эту оценку в соответствии с величиной невязки. 2.3 Модель задачи Приведем основные положения, на основе которых будет построена модель нашей задачи: . ОК представляет из себя находящуюся в воздухе проводящую пластину толщиной Н состоящую из N плоско-параллельных слоев толщиной bi. . В пределах каждого слоя удельная электропроводность ( имеет постоянное значение т.е. распределение ( по глубине аппроксимируется кусочно- постоянной зависимостью. . Возбуждающая и измерительная обмотки ВТП заменяются нитевидными моделями. Следует отметить, что это предположение сказывается лишь на решении прямой задачи, а проведя интегрирование можно получить выражения для катушек конечных размеров. . Для численного моделирования реальных распределений ЭП применим пять типов аппроксимации: сплайном, кусочно-постоянную, кусочно-линейную, экспоненциальную и гиперболическим тангенсом. В процессе решения прямой задачи с их помощью вычисляются значения ( в центральных точках слоев пластины.
Решению обратной задачи ВТК посвящен ряд работ в зарубежных изданиях. Подход к решению квазистационарных задач рассмотрен в цикле статей [45- Определим функцию v(r)=( ((r) - (0 )/(0 , где ((r) - произвольное распределение проводимости, а (0 - ее базовая величина. Функция v(r) может представлять собой как описание произвольного распределения проводимости (в этом случае для удобства полагаем ((r)=(0 вне некоторого ОК объема V, тогда v(r) отлична от нуля только в пределах V ) так и некоторого дефекта (для трещины v(r)=-1 внутри дефекта и равна нулю вне его). Рассмотрим систему уравнений Максвелла в предположении гармонического
возбуждения exp(-jwt) и пренебрегая токами смещения: где P(r)=[ ((r)-(0 ](E(r)=(0 ( v(r)(E(r) - может интерпретироваться как
плотность диполей эффективного тока, причиной которого является вариация Решение уравнений Максвелла можно представить в виде где Ei(r) - возбуждающее поле, а G(r|r’) - функция Грина,
удовлетворяющая уравнению(((( G(r|r’)+k2( G(r|r’)=((r-r’) , k2=-j((((0 ((0 Импеданс ВТП можно выразить как где интеграл берется по измерительной катушке, J(r) - плотность тока в
возбуждающей катушке. Применяя теорему взаимности импеданс можно
представить через возбуждающее поле: где интеграл берется по объему ОК. Пусть v(r) - оценка истинной функции vtrue(r), Zobs(m) - измеренный импеданс ВТП в точке r0 на частоте возбуждения ( , m=(r0 ,() - вектор в некоторой области определения M , Z[m,v] - оценка величины Zobs(m) на основе решения прямой задачи. Определим функционал невязки измеренных и рассчитанных значений
импеданса ВТП как : Предположим, что для решения обратной задачи используется итерационный
алгоритм типа метода спуска: vn(r)= vn-1(r)+( sn(r). Можно показать, что в
случае метода наискорейшего спуска итерация имеет вид: vn(r)= vn-1(r)-(((F[
vn-1(r) ], где градиент функционала (F[v] можно определить как : где Re обозначает вещественную часть, * обозначает комплексную сопряженность. Требуемый в (2.4.6) градиент импеданса можно определить как: где E*(r) - решение уравнения
Пусть электропроводность моделируется с помощью конечного числа
переменных (например узловых значений некоторой аппроксимации), а вектор р
состоит из этих переменных. Тогда выражение (2.4.7) принимает вид: где ((Z)j - j-ая компонента градиента импеданса. Значение j-ой компоненты градиента невязки (2.4.6) можно представить
как: Следует обратить внимание на то, что в случае дискретного пространства С учетом приведенных преобразований итерация метода наискорейшего
спуска принимает вид: где n - номер итерации. В качестве примера рассмотрим функцию v(r) в виде v(r)=(ci((i(r), i=1,N В случае проводящего ОК, состоящего из N параллельных слоев с проводимостью (j распределение электропроводности по глубине можно представить с помощью функций Хевисайда H(z) как ((z)=( (j([ H( z-zj ) - H( z-zj+1 ) ]. Подставляя в (2.4.12) базовые функции вида (i(z)=[H( z-zj )-H( z-zj+1 Отметим основное преимущество такого решения. Несмотря на определенную сложность вычислений при решении интегральных уравнений (2.4.2-2.4.8) для расчета градиента импеданса НВТП необходимо решить только две такие задачи. 2.4.2 Отечественные методы решения Подход, в значительной мере аналогичный работам [45-51] был предложен в работе [41]. Из-за небольшого объема в ней уделено недостсточное внимание вопросам практической реализации, объяснены не все обозначения и не приведены результаты численного моделирования. В целом это значительно снижает практическую ценность статьи. Приведем основные положения этой работы. Прямая задача Пусть круговой виток радиусом а с током I находится в точке В общем случае напряженность электрического поля Е определяется через
векторный магнитный потенциал А, причем А = А0 + Авн, где А0 -
возбуждающий, а Авн - вносимый потенциалы. Вводя функцию Грина G(p,p0) получим При этом вносимая напряженность электрического поля Вносимая э.д.с., наводимая в i-ом витке где функция Грина G(P,P0) имеет вид В дальнейшем рассмотрим случай, при котором V-полупространство Приведем часто используемые выражения для штрафа : Наибольшее применение находит штраф (6.3). Выражение (6.5) гарантирует конечность метода при любом k>0. При численной реализации метода штрафных функций возникают проблемы выбора начального значения параметра ( и способа его изменения. Сложность состоит в том, что выбор достаточно малого ( увеличивает вероятность сходимости решения (6.2) к решению (6.1), а скорость сходимости градиентных методов вычисления точек минимума (6.2), как правило, падает с убыванием величины ( . 6.2 Релаксационные методы Релаксационным методом называют процесс построения последовательности
точек {хk: хk ( X , (( хk+1 ) ( (( хk ) ; k=0,1... }. Основными
представителями этого класса являются методы спуска, алгоритм которых
состоит из следующих шагов : Различия методов состоят в выборе либо направления спуска, либо способа движения вдоль выбранного направления. В последнем случае обычно используют одномерную минимизацию функции хk+1(() = хk - ((sk (при этом точность вычисления точки минимума функции хk+1(() следует согласовывать с точностью вычисления значений функции ((х)) или способ удвоения ((величина шага удваивается пока выполняется условие ((хk+1) ( ((хk) ). 6.2.1 Метод условного градиента Идея метода заключается в линеаризации нелинейной функции ((х). В этом
методе выбор направления спуска осуществляется следующим образом : Таким образом итерация метода имеет вид: xk+1=xk+(k((sk+1 - xk) , sk+1=arg min((f(xk),x). Основное преимущество метода проявляется в случае задания допустимого множества с помощью линейных ограничений. В этом случае получаем задачу линейного программирования, решаемую стандартными методами(например симплексным). 6.2.2 Метод проекции градиента Этот метод является аналогом метода градиентного спуска, используемого в задачах без ограничений. Его идея состоит в проектировании точек, найденных методом наискорейшего спуска, на допустимое множество, определяемое ограничениями. Проекцией точки y на множество Х называется точка P(y)(Х такая, что || P(y) - y || ( || x - y || для всех х(Х. Задача проектирования формализуется как || x - y ||2( min, x(Х. Выбор направления спуска осуществляется следующим образом : Таким образом итерация метода имеет вид: xk+1=PX[ xk - (k((f( xk ) ], где РX(у) - ортогональная проекция точки у на множество Х. Для отыскания направления спуска sk необходимо решить задачу минимизации квадратичной функции || rk - х ||2 на множестве Х. В общем случае эта задача того же порядка сложности, что и исходная, однако для задач, допустимое множество которых имеет простую геометрическую структуру, отыскание проекции значительно упрщается. Например, для многомерного параллелепипида QN={x(RN : a ( x ( b }, отыскание проекции осуществляется путем сравнения n чисел и имеет вид P(x)={ ai, xi(ai ; xi, xi([ ai,bi ] ; bi, xi(bi }. 6.2.3 Метод случайного спуска Метод характеризуется тем, что в качестве направления спуска sK выбирается некоторая реализация n-мерной случайной величины S с известным законом распределения. Об эффективности этого метода судить трудно, однако благодаря использованию быстродействующих ЭВМ он оказывается практически полезным. 6.3 Метод множителей Лагранжа Идея метода состоит в отыскании седловой точки функции Лагранжа задачи Алгоритм метода состоит в следующем: 3. Решение системы из n+m уравнений вида Решениями системы (6.8) являются точки, которые могут быть решениями задачи. 4. Выбор точек, в которых достигается экстремум и вычисление функции ((х) в этих точках. Задача линейного программирования в каноническом виде имеет вид[15,16]: Приведение к каноническому виду любой задачи линейного программирования осуществляется путем введения дополнительных неотрицательных переменных, за счет чего ограничения, имеющие вид неравенств, принимают вид эквивалентных им равенств. Любая задача линейного программирования может быть решена за конечное число итераций с помощью симплексного метода[17,18]. Следует отметить, что поскольку этот метод разработан для неотрицательных элементов xj , это условие учитывается неявно и в систему уравнений (7.1) при численной реализации не входит. 7.1 Алгоритм симплексного метода 1. Приведение к каноническому виду Матрицу А можно рассматривать как совокупность столбцов aj т.е. Рассмотрим коэффициенты (k=(cj((jk - ck где j=1,m и k=1,N. Заметим, что для базовых столбцов (k ( 0. Проверка на оптимальность осуществляется следующим образом:
В базис вводится любой столбец, для которого (k( 0, обозначим его (p Из текущего базиса исключается столбец, для которого минимально отношение bi/Aip , i=1,M обозначим его br/Arp 4.4 Переход к пункту 3 8. Одномерная минимизация Несмотря на кажущуюся простоту, для широкого класса функций решение задачи минимизация функции одного переменного ((х) сопряжено с некоторыми трудностями. С одной стороны, в практических задачах часто неизвестно, является ли функция дифференцируемой. С другой стороны, задача решения уравнения (((х)=0 может на практике оказаться весьма сложной. Ввиду этого существенное значение приобретают методы минимизации, не требующие вычисления производной[15]. Поскольку нас интересует приближенное определение точки минимума, то для этого исследуют поведение функции в конечном числе точек, способами выбора которых различаются методы одномерной минимизации. К методам, в которых при ограничениях на количество вычислений значений 8.1 Алгоритм методов I. h0 = b0 - a0 , k = 1 , ( ( (0.5,1) , h1 = ((h0 , h2 = h0 - h1 , c1 = a0
Следует отметить, что на каждом шаге кроме первого, производится только одно вычисление значения функции ((x). Легко показать, что для получения оптимальной последовательности
отрезков, стягивающихся к точке минимума, необходимо положить (k = Fk-1/Fk 8.2 Метод Фибоначчи Решая вопрос, при каких значениях параметра ( за конечное число
итераций N мы получим отрезок минимальной длины, получим ( = (N = FN-1/FN. 8.3 Метод золотого сечения В реальной ситуации начиная поиск минимума мы не знаем точного числа
требуемых итераций. Вместо вычисления ( будем выдерживать постоянное
отношение длин интервалов hk-2/hk-1 = hk-1/hk = (. При ( = ((5+1)/2 = Сравнивая приведенные методы при больших значениях N можно показать, что значение окончательного интервала неопределенности в методе золотого сечения лишь на 17% больше чем в методе Фибоначчи.
|
|