|
| |||
Реферат: Термодинамика[pic] СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1 5. Обратимые и необратимые процессы. 6. Энтропия. ГЛАВА 2 2. Диссипативные структуры. 5. Физические системы. 6. Химические системы. 7. Биологические системы. 8. Социальные системы. ГЛАВА 3 4. Динамика популяций. Экология. 5. Система «Жертва - Хищник». ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЛИТЕРАТУРА. [pic] ВВЕДЕНИЕ. Наука зародилась очень давно, на Древнем Востоке, и затем интенсивно
развивалась в Европе. В научных традициях долгое время оставался
недостаточно изученным вопрос о
взаимоотношениях целого и части. Как стало ясно в середине Из классической термодинамики известно, что изолированные термодинамические системы в соответствии со вторым началом термодинамики для необратимых процессов энтропия системы S возрастает до тех пор, пока не достигнет своего максимального значения в состоянии термодинамического равновесия. Возрастание энтропии сопровождается потерей информации о системе. Со временем открытия второго закона термодинамики встал вопрос о том, как можно согласовать возрастание со временем энтропии в замкнутых системах с процессами самоорганизации в живой и не живой природе. Долгое время казалось, что существует противоречие между выводом второго закона термодинамики и выводами эволюционной теории Дарвина, согласно которой в живой природе благодаря принципу отбора непрерывно происходит процесс самоорганизации. Противоречие между вторым началом термодинамики и примерами
высокоорганизованного окружающего нас мира было разрешено с появлением
более пятидесяти лет назад и последующим естественным развитием нелинейной
неравновесной термодинамики. Ее еще называют термодинамикой открытых
систем. Большой вклад в становление этой новой науки внесли И.Р.Пригожин, Как итог развития нелинейной неравновесной термодинамики появилась совершенно новая научная дисциплина синергетика - наука о самоорганизации и устойчивости структур различных сложных неравновесных систем: физических, химических, биологических и социальных. В настоящей работе исследуется самоорганизация различных систем аналитическими и численными методами. ГЛАВА 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ. 1. ЗАКРЫТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. Всякий материальный объект, всякое тело , состоящее из большого числа
частиц, называется макроскопической системой . Размеры макроскопических
систем значительно больше размеров атомов и молекул. Все макроскопические
признаки , характеризующие такую систему и ее отношение к окружающим телам Величины , определяемые положением не входящих в нашу систему внешних тел , называются внешними параметрами , например напряженность силового поля ( так как зависят от положения источников поля - зарядов и токов , не входящих в нашу систему ) , объем системы ( так как определяется расположением внешних тел ) и т.д. Следовательно внешние поараметры являются функциями координат внешних тел. Величины, определяемые совокупным движением и распределением в пространстве входящих в систему частиц , называются внутренними параметрами , например энергия , давление , плотность , намогниченность , поляризованность и т.д. ( так как их значения зависят от движения и положения частиц системы и входящих в них зарядов ). Совокупность независимых макроскопических параметров определяет
состояние системы , т.е. форму ее бытия . Величины не зивисящие от
предыстории системы и полностью определяемые ее состоянием в данный момент Состояние называется стационарным , если параметры системы с течением времени не изменяются. Если , кроме того , в системе не только все параметры постоянны во времени , но и нет никаких стационарных потоков за счет действия каких-либо внешних источников , то такое состояние системы называется равновесным ( состояние термодинамического равновесия ). Термодинамическими системами обычно называют не всякие , а только те макроскопические системы , которые находятся в термодинамическом равновесии. Аналогично , термодинамическими параметрами называются те параметры , которые характеризуют систему в термодинамическом равновесии. Внутренние параметры системы разделяются на интенсивные и экстенсивные . По способу передачи энергии , вещества и информации между
рассматриваемой системы и окружающей средой термодинамические системы
классифицируются : 2. НУЛЕВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ . Нулевое начало термодинамики сформулированное всего около 50 лет назад , по существу представляет собой полученное «задним числом» логическое оправдание для введения понятия температуры физических тел . Температура Первое начало термодинамики устанавливает внутренняя энергия системы является однозначная функция ее состояния и изменяется только под влиянием внешних воздействий. В термодинамике рассматриваются два типа внешних взаимодействий:
воздействие , связанное с изменением внешних параметров системы ( система
совершает работу W ), и воздействие не связанные с изменением внешних
параметров и обусловленные изменением внутренних параметров или температуры Поэтому , согласно первому началу , изменение внутренней энергии U2-U1 системы при ее переходе под влиянием этих воздействий из первого состояния во второе равно алгебраической сумме Q и W , что для конечного процесса запишется в виде уравнения U2 - U1 = Q - W или Q = U2 - U1 + W Первое начало формируется как постулат и является обобщением большого количества опытных данных . Для элементарного процесса уравнение первого начала такого : (Q = dU + (W (1.2) (Q и (W не являются полным дифференциалом, так как зависят от пути следования. Зависимость Q и W от пути видна на простейшем примере расширение газа. Wа = p(V,T) dV ;
а работа при переходе по пути в - площадью ограниченную контуром Wb = p(V,T) dV. [pic] Рис. 1 Поскольку давление зависит не только от объема, но и от температуры, то
при различных изменениях температуры на пути а и в при переходе
одного и того же начального состояния (p1,V1) в одно и тоже конечное Из первого начала термодинамики следует, что работа может совершаться или за счет изменения внутренней энергии , или за счет сообщения системе количества теплоты . В случае если процесс круговой , начальное и конечное состояние совпадают U2- U1 = 0 и W = Q , то есть работа при круговом процессе может совершаться только за счет получения системой теплоты от внешних тел . Первое начало можно сформулировать в нескольких видах : Первый закон термодинамики , постулируя закон сохранения энергии для термодинамической системы. не указывает направление происходящих в природе процессов. Направление термодинамических процессов устанавливает второе начало термодинамики. 4. ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. Второе начало термодинамики устанавливает наличие в природе фундаментальной асимметрии , т.е. однонаправленности всех происходящих в ней самопроизвольных процессов . Второй основной постулат термодинамики связан так же с другими
свойствами термодинамического равновесия как особого вида теплового
движения. Опыт показывает , что если две равновесные системы А и В привести
в тепловой контакт , то независимо от различия или равенства у них внешних
параметров они или остаются по прежнему в состоянии термодинамического
равновесия , или равновесие у них нарушается и спустя некоторое время в
процессе теплообмена ( обмена энергией ) обе системы приходят в другое
равновесное состояние. Кроме того , если имеются три равновесные системы Пусть имеются две системы . Для того , чтобы убедится в том , что они находятся в состоянии термодинамического равновесия надо измерить независимо все внутренние параметры этих систем и убедиться в том , что они постоянны во времени. Эта задача черезвычайно трудная . Оказывается однако , что имеется такая физическая величина , которая позволяет сравнить термодинамические состояния двух систем и двух частей одной системы без подробного исследования и внутренних параметров. Эта величина , выражающая состояние внутреннего движения равновесной системы , имеющая одно и то же значение у всех частей сложной равновесной системы независимо от числа частиц в них и определяемое внешними параметрами и энергией называется температурой . Температура является интенсивным параметром и служит мерой интенсивности теплового движения молекул. Изложенное положение о существовании температуры как особой функции состояния равновесной системы представляет второй постулат термодинамики. Иначе говоря , состояние термодинамического равновесия определяется совокупностью внешних параметров и температуры. Р.Фаулер и Э.Гуггенгейм назвали его нулевым началом , так как оно подобно первому и второму началу определяющим существование некоторых функций состояния , устанавливает существование температуры у равновесных систем. Об этом упоминалось выше. Итак , все внутренние параметры равновесной системы являются функциями внешних параметров и температур .(Второй постулат термодинамики). Выражая температуру через внешние параметры и энергию , второй постулат можно сформулировать в таком виде : при термодинамическом равновесии все внутренние параметры являются функциями внешних параметров и энергии. Второй постулат позволяет определить изменение температуры тела по изменению какого либо его параметра , на чем основано устройство различных термометров. 1. ОБРАТИМЫЕ И НЕОБРАТИМЫЕ ПРОЦЕССЫ. Процесс перехода системы из состояния 1 в 2 называется обратимым , если возвращением этой системы в исходное состояние из 2 в 1 можно осуществить без каких бы то ни было изменений окружающих внешних телах. Процесс же перехода системы из состояния 1 в 2 называется необратимым , если обратный переход системы из 2 в 1 нельзя осуществить без изменения в окружающих телах . Мерой необратимости процесса в замкнутой системе является изменением новой функции состояния - энтропии , существование которой у равновесной системы устанавливает первое положение второго начала о невозможности вечного двигателя второго рода . Однозначность этой функции состояния приводит к тому , что всякий необратимый процесс является неравновесным. Из второго начала следует , что S является однозначной функцией состояния. Это означает , что dQ/T для любого кругового равновесного процесса равен нулю. Если бы это не выполнялось , т.е. если бы энтропия была неоднозначной функцией состояния то , можно было бы осуществить вечный двигатель второго рода. Положение о существовании у всякой термодинамической системы новой однозначной функцией состояния энтропии S , которая при адиабатных равновесных процессах не изменяется и состовляет содержание второго начала термодинамики для равновесных процессов. Математически второе начало термодинамики для равновесных процессов записывается уравнением: dQ/T = dS или dQ = TdS (1.3) Интегральным уравнением второго начала для равновесных круговых процессов является равенство Клаузиуса : dQ/T = 0 (1.4) Для неравновесного кругового процесса неравенство Клаузиуса имеет следующий вид : dQ/T < 0 (1.5) Теперь можно записать основное уравнение термодинамики для простейшей системы находящейся под всесторонним давлением : TdS = dU + pdV (1.6) Обсудим вопрос о физическом смысле энтропии. 1.4.2. ЭНТРОПИЯ. Второй закон термодинамики постулирует существование функции состояния , называемой «энтропией» ( что означает от греческого «эволюция» ) и обладающей следующими свойствами : а) Энтропия системы является экстенсивным свойством . Если система состоит из нескольких частей , то полная энтропия системы равна сумме энтропии каждой части . в) Изменение энтропии d S состоит из двух частей . Обозначим через dе S поток энтропии, обусловленный взаимодействием с окружающей средой , а через di S - часть энтропии , обусловленную изменениями внутри системы , имеем d S = de S + di S Приращение энтропии di S обусловленное изменением внутри системы , никогда не имеет отрицательное значение . Величина di S = 0 , только тогда , когда система претерпевает обратимые изменения , но она всегда положительна , если в системе идут такие же необратимые процессы. Таким образом di S = 0 Для изолированной системы поток энтропии равен нулю и выражения (1.8) и d S = di S > 0 Для изолированной системы это соотношение равноценно классической формулировке , что энтропия никогда не может уменьшаться , так что в этом случае свойства энтропийной функции дают критерий , позволяющий обнаружить наличие необратимых процессов . Подобные критерии существуют и для некоторых других частных случаев . Предположим , что система , которую мы будем обозначать символом 1 , находится внутри системы 2 большего размера и что общая система , состоящая системы 1 и 2 , является изолированной. Классическая формулировка второго закона термодинамики тогда имеет вид : d S = d S1 + d S2 ( 0 (1.11) Прилагая уравнения (1.8) и (1.9) в отдельности каждой части этого
выражения , постулирует , что di S1 ( 0 , di S2 ( 0 Такую формулировку второго закона можно было бы назвать « локальной » формулировка в противоположность « глобальной » формулировка классической термодинамики . Значение подобной новой формулировке состоит в том ,что на ее основе возможен гораздо более глубокий анализ необратимых процессов . 5 ТРЕТЬЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ. Открытие третьего начала термодинамики связано с нахождением химического
средства - величины , характеризующих способность различных веществ
химически реагировать друг с другом . Эта величина определяется работой W
химических сил при реакции . Первое и второе начало термодинамики позволяют
вычислить химическое средство W только с точностью до некоторой
неопределенной функции . Чтобы определить эту функцию нужны в дополнении к
обоим началам термодинамики новые опытные данные о свойствах тел . Поэтому В результате этих исследований и было сформулировано третье начало термодинамики : по мере приближения температуры к 0 К энтропия всякой равновесной системы при изотермических процессах перестает зависить от каких-либо термодинамических параметров состояния и в пределе ( Т= 0 К) принимает одну и туже для всех систем универсальную постоянную величину , которую можно принять равной нулю . Общность этого утверждения состоит в том , что , во-первых , оно относится к любой равновесной системе и , во-вторых , что при Т стремящемуся к 0 К энтропия не зависит от значения любого параметра системы. Таким образом по третьему началу, lin [ S (T,X2) - S (T,X1) ] = 0 (1.12) или lim [ dS/dX ]T = 0 при Т ( 0 (1.13) где Х - любой термодинамический параметр (аi или Аi). Предельно значение энтропии , поскольку оно одно и тоже для всех систем ГЛАВА 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОЛОЖЕНИЯ СИНЕРГЕТИКИ. САМООРГАНИЗАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ. Около 50 лет назад в результате развития термодинамики возникла новая дисциплина - синергетика. Являясь наукой о самоорганизации самых различных систем - физических , химических , биологических и социальных - синергетика показывает возможность хотя бы частичного снятия междисциплинных барьеров не только внутри естественно научной отросли знания , но так же и между естественно научной и гумонитарной культурами . Синергетика занимается изучением систем , состоящих из многих подсистем
самой различной природы , таких , как электроны , атомы , молекулы , клетки При выборе математического аппарата необходимо иметь ввиду , что он должен быть применим к проблемам , с которыми сталкиваются физик , химик , биолог , электротехник и инженер механик. Не менее безотказно он должен действовать и в области экономики , экологии и социологии . Во всех этих случаях нам придется рассматривать системы , состоящие из очень большого числа подсистем , относительно которых мы можем не располагать всей полной информацией . Для описания таких систем не редко используют подходы , основанные на термодинамики и теории информации. Во всех системах , представляющих интерес для синергетики , решающую роль играет динамика. Как и какие макроскопические состояния образуются, определяются скоростью роста (или распада) коллективных «мод» . Можно сказать что в определенном смысле мы приходим к своего рода обобщенному дарвенизму , действие которого распознается не только на органический ,но и на неорганический мир : возникновение макроскопических структур обусловленных рождением коллективных мод под воздействием флуктуаций , их конкуренцией и , наконец, отбором «наиболее приспособленной» моды или комбинации таких мод. Ясно, что решающую роль играет параметр «время» . Следовательно , мы должны исследовать эволюцию систем во времени . Именно поэтому интересующие нас уравнения иногда называют «эволюционными». 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ. Открытые системы - это термодинамические системы , которые обмениваются
с окружающими телами ( средой ) , веществом , энергией и импульсом . Если
отклонение открытой системы от состояния равновесия невелико , то
неравновесное состояние можно описать теми же параметрами (температура ,
химический потенциал и другие) , что и равновесное . Однако отклонение
параметров от равновесных значений вызывают потоки вещества и энергии в
системе . Такие процессы переноса приводят к производству энтропии . В открытой системе изменение энтропии можно разбить на сумму двух вкладов : d S = d Se + d Si (2.1) Здесь d Se - поток энтропии , обусловленный обменом энергией и веществом с окружающей средой , d Si - производство энтропии внутри системы (рис. 2.1). [pic] Рис. 2.1. Схематическое представление открытых систем : производство и поток энтропии. Х - набор характеристик : С - состав системы и внешней среды ; Р - давление ; Т - температура. Итак , открытая система отличается от изолированной наличием члена в выражении для изменения энтропии , соответствующего обмену . При этом знак члена d Se может быть любым в отличии от d Si . Для неравновесного состояния : S < Smax Неравновесное состояние более высокоорганизованно , чем равновесное , для которого S = Smax Таким образом эволюцию к более высокому порядку можно представить как процесс , в котором система достигает состояния с более низкой энтропией по сравнению с начальной . Фундаментальная теорема о производстве энтропии в открытой системе с независимыми от времени краевыми условиями была сформулирована Пригожиным: в линейной области система эволюционирует к стационарному состоянию , характеризуемому минимальным производством энтропии , совместимым с наложенными граничными условиями . Итак состояние всякой линейной открытой системы с независящими от времени краевыми условиями всегда изменяется в направлении уменьшения производства энтропии P = d S / d t пока не будет достигнуто состояние текущего равновесия , при котором производство энтропии минимально : d P < 0 (условие эволюции) P = min , d P = 0 (условие текущего равновесия) d P/ d t < 0 (2.2)
Каждая система состоит из элементов (подсистем) . Эти элементы находятся в определенном порядке и связаны определенными отношениями. Структуру системы можно назвать организацию элементов и характер связи между ними. В реальных физических системах имеются пространственные и временные структуры . Формирование структуры - это возникновение новых свойств и отношений в
множестве элементов системы . В процессах формирования структур играют
важную роль понятия и принципы : Формирование структур при необратимых процессах должно сопровождаться качественным скачком (фазовым переходом) при достижении в системе критических значений параметров. В открытых системах внешний вклад в энтропию (2.1) d S в принципе можно выбрать произвольно , изменяя соответствующим образом параметры системы и свойства окружающей среды . В частности энтропия может уменьшаться за счет отдачи энтропии во внешнюю среду , т.е. когда d S < 0 . Это может происходить , если изъятие из системы в единицу времени превышает производство энтропии внутри системы , то есть d S dSe dSi ( < 0 , если ( > ( > 0 (2.3) d t dt dt Чтобы начать формирование структуры , отдача энтропии должна превысить некоторое критическое значение . В сильно неравновесном расстоянии переменные системы удовлетворяют нелинейным уравнениям . Таким образом , можно выделить два основных класса необратимых процессов Пространственные , временные или пространственно-временные структуры , которые могут возникать вдали от равновесия в нелинейной области при критических значениях параметров системы называются диссипативными структурами. В этих структурах взаимосвязаны три аспекта : [pic] Рис. 1. Три аспекта диссипативных структур. Взаимодействия между этими аспектами приводит к неожиданным явлениям - к возникновению порядка через флуктуации , формированию высокоорганизованной структуры из хаоса. Таким образом , в диссипативных структурах происходит становление из бытия , формируется возникающее из существующего. 2. САМООРГАНИЗАЦИЯ РАЗЛИЧНЫХ СТСТЕМ И СЕНЕРГЕТИКА. Переход от хаоса к порядку , происходящий при изменении значений параметров от до критических к сверхкритическим , изменяет симметрию системы . По этому такой переход аналогичен термодинамическим фазовым переходам . Переходы в неравновесных процессах называются кинетическими фазовыми переходами . В близи неравновесных фазовых переходов не существует непротиворечивого макроскопического описания . Флуктуации столь же важны , как и среднее значении . Например , макроскопические флуктуации могут приводить к новым типам не устойчивостей . Итак , в дали от равновесия между химической , кинетической и пространственно-временной структурой реагирующих систем существует неожиданная связь . Правда , взаимодействие , определяющие взаимодействие констант скоростей и коэффициентов переноса , обусловлены короткодействующими силами ( силами валентности , водородными связями и силами Ван-Дер-Вальса) . Однако решения соответствующих уравнений зависят , кроме того , от глобальных характеристик . Для возникновения диссипативных структур обычно требуется , чтобы размеры системы превышали некоторое критическое значение - сложную функцию параметров , описывающих реакционно- диффузионные процессы . Мы можем по этому утверждать , что химические неустойчивости задают дальнейший порядок , посредством которого система действует как целое . Если учесть диффузию , то математическая формулировка проблем , связанных с диссипативными структурами , потребует изучении дифференциальных уравнений в частных производных . Действительно , эволюция[pic] концентрации компонент Х со временем определяется уравнением вида [pic] (2.4) где первый член дает вклад химических реакций в изменении концентрации Хi и обычно имеет простой полиноминальный вид , а второй член означает диффузию вдоль оси r. По истине поразительно , как много разнообразных явлений описывает
реакционно-диффузное уравнение (2.4 ) , по этому интересно рассмотреть (
основное решение ( , которое бы соответствовала термодинамической ветви . ( = a X (X-R) (2.5) d t Ясно что при R < 0 существует только одно решение , независящее от времени , X = 0 . В точке R = 0 происходит бифуркация , и появляется новое решение X = R . [pic] Рис. 2.3. Бифуркационная диограмма для уравнения ( 2.5.) . Сплошная линия соответствует устойчивой ветви , точки - неустойчивой ветви . Анализ устойчивости в линейном приближении позволяет проверить , что
решение X = 0 при переходе через R = 0 становится неустойчивым , а
решение X = R - устойчивым . В общем случаи при возрастании некоторого
характеристического параметра р происходят последовательные бифуркации . Интересно отметить , что бифуркация в некотором смысле вводит в физику и в химию , историю - элемент , который прежде считался прерогативой наук занимающихся изучением биологическим , общественных и культурных явлений . [pic] Рис. 2.4. Последовательные бифуркации : А и А1 - точки первичных бифуркаций из термодинамической ветви , В и В1 - точки вторичной бифуркации . Известно , что при изменении управляющих параметров в системе наблюдаются разнообразные переходные явления . Выделим теперь из этих наблюдений определенные общие черты , характерные для большого числа других переходов в физико химических системах . С этой целью представим графически (рис. 2.5) зависимость вертикальной
компоненты скорости течения жидкости в некоторой определенной точке от
внешнего ограничения , или , в более общем виде , зависимость переменной
состояние системы Х (или х = Х - Хs ) от управляющего параметра ( . [pic] Рис. 2.5. Бифуркационная диаграмма : а - устойчивая часть термодинамической ветви , а1 - не устойчивая часть термодинамической ветви , в1 ,в2 - диссипативные структуры , рожденные в сверхкритической области . При малых значения ( возможно лишь одно решение , соответствующее
состоянию покоя в бенаровском эксперименте .Оно представляет собой
непосредственную экстрополяцию термодинамического равновесия , и подобно
равновесно , характеризующейся важным свойством - асимптотической
устойчивостью , поскольку в этой области система способна гасить внутренние
флуктуации или внешнее возмущения . По этой причине такую ветвь состояний
мы будем называть термодинамической ветвью . При переходе критического
значения параметра ( , обозначенного (c на рисунке 2.5. , состоящие на этой
ветви становится неустойчивыми , так как флуктуации или малые внешние
возмущение уже не гасятся . Действуя подобно усилителю , система
отклоняется от стационарного состояния и переходит к новому режиму , в
случае бенаровского эксперимента соответствующему состоянию стационарной
конвекции . Оба этих режима сливаются при ( = (c и различаются при ( ( (c . В близи равновесного состояния стационарное состояние асимптотических устойчивы (по теореме о минимальном производстве энтропии ) , по этому в силу непрерывности эта термодинамическая ветвь простирается во всей докритической области . При достижении критического значения термодинамическая ветвь может стать неустойчивой , так что любое , даже малое возмущение , переводит систему с термодинамической ветви в новое устойчивое состояние , которое может быть упорядоченным . Итак , при критическом значении параметром произошла бифуркация и возникла новая ветвь решений и , соответственно , новое состояние . В критической области , таким образом , событие развивается по такой схеме ( Флуктуация ( Бифуркация ( неравновесный фазовый переход ( Рождение упорядоченной структуры . Бифуркация в широком понимании - приобретении нового качества движениями
динамической системы при малом изменении ее параметров ( возникновение при
некотором критическом значении параметра нового решения уравнений ) . Общая теория процессов самоорганизации открытых сильно не равновесных
системах развивается на основе универсального критерия эволюции Пригожина - dx P / t ( 0 (2.6) Это неравенство не зависит не от каких предположений о характере связей
между потоками и силами в условиях локального равновесия и носит по этому
универсальный характер . В линейной области неравенство (2.6. ) переходит в
теорему Пригожина о минимальном производстве энтропии . Итак , в
неравновестной системе процессы идут так , т.е. система эволюционирует
таким образом, что скорость производства энтропии при изменении
термодинамических сил уменьшается ( или равна нулю в стационарном состоянии Упорядоченные структуры , которые рождаются вдали от равновесия , в соответствии с критерием (2.6.) и есть диссипативные структуры . Эволюция бифуркации и последующей самоорганизации обусловлено , таким образом , соответствующими не равновесными ограничениями . Эволюция переменных Х будет описываться системой уравнений [pic] (2.7) где функции F как угодно сложным образом могут зависить от самих
переменных Х и их пространственных производных координат r и времени t . Решение уравнения (2.7) , если нет внешних ограничений , должны соответствовать равновесию при любом виде функции F . Поскольку равновесное состояние стационарно , то Fi ({Xрав},(рав ) = 0 (2.8) В более общем случае для неравновесного состояния можно аналогично написать условие Fi ({X},() = 0 (2.9) Эти условия налагают определенные ограничения универсального характера , например, законы эволюции системы должны быть такими , чтобы выполнялось требование положительности температуры или химической концентрации, получаемых как решения соответствующих уравнений. Другой универсальной чертой является нелинейным . Пусть , например
некоторая единственная характеристика системы
удовлетворяет уравнению ( - kX = 0 (2.11) откуда Xs = ( / k (2.12) В стационарном состоянии , таким образом , значении характеристики ,
например , концентрации , линейно изменяется в зависимости от значений
управляющего ограничения ( , и имеется для каждого ( единственное состояние [pic] Если же стационарное значение характеристики Х не линейно зависит от
управляющего ограничения при некоторых значениях , то при одном и том же
значении имеется несколько различных решений . Например , при ограничениях
система имеет три стационарных решения , рисунок 2.6.в. Такое универсальное
отличие от линейного поведения наступает при достижении управляющим
параметром некоторого критического значения ( - проявляется бифуркация. Выполнение теоремы по минимально производстве энтропии в линейной области , а, как обобщение этой теоремы , выполнение универсального критерия (2.6.) и в линейной , и в нелинейной области гарантируют устойчивость стационарных неравновесных состояний. В области линейности необратимых процессов производство энтропии играет такую же роль , как термодинамические потенциалы в равновесной термодинамике . В нелинейной области величина dP / dt не имеет какого либо общего свойства , однако , величина dx P/dt удовлетворяет неравенству общего характера (2.6. ) , которая является обобщением теоремы о минимальном производстве энтропии . 2.3 ПРИМЕРЫ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ. Рассмотрим в качестве иллюстрации некоторые примеры самоорганизации систем в физике , химии , биологии и социуме. 1. ФИЗИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. В принципе даже в термодинамическом равновесии можно указать примеры самоорганизации , как результаты коллективного поведения . Это , например , все фазовые переходы в физических системах , такие как переход жидкость - газ , ферромагнитный переход или возникновение сверхпроводимости . В неравновесном состоянии можно назвать примеры высокой организации в гидродинамике , в лазерах различных типов , в физике твердого тела - осциллятор Ганна , туннельные диоды , рост кристаллов . В открытых системах , меняя поток вещества и энергии из вне , можно контролировать процессы и направлять эволюцию систем к состояниям , все более далеким от равновесия . В ходе неравновесных процессов при некотором критическом значении внешнего потока из неупорядоченных и хаотических состояний за счет потери их устойчивости могут возникать упорядоченные состояния , создаваться диссипативные структуры . 2.3.1а. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА. Классическим примером возникновения структуры из полностью хаотической фазы являются конвективные ячейки Бенара . В 1900 году была опубликована статья Х.Бенара с фотографией структуры , по виду напоминавшей пчелиные соты (рис. 2.7). [pic] Рис. 2.7. Ячейки Бенара : а) - общий вид структуры б) - отдельная ячейка. Эта структура образовалась в ртути , налитой в плоский широкий сосуд ,
подогреваемый снизу , после того как температурный градиент превысил
некоторое критическое значение . Весь слой ртути (или другой вязкой
жидкости) распадался на одинаковые вертикальные шестигранные призмы с
определенным соотношением между стороной и высотой (ячейки Бенара). В
центральной области призмы жидкость поднимается , а вблизи вертикальных
граней - опускается . Возникает разность температур Т между нижней и
верхней поверхностью (Т = Т2 - Т1 ( 0 .Для малых до критических разностей [pic] Рис. 2.8. Поток тепла в тонком слое жидкости. Увеличение разности температур (Т , то есть дальнейшее отклонение
системы от равновесия , приводит к тому , что состояние неподвижной
теплопроводящей жидкости становится неустойчивым участок б на рисунке Далее этот вопрос рассматривается в 3 главе. 2.3.1в. ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА. Итак , в качестве примера физической системы , упорядоченность которой есть следствие внешнего воздействия , рассмотрим лазер. При самом грубом описании лазер - это некая стеклянная трубка , в
которую поступает свет от некогерентного источника (обычной лампы) , а
выходит из нее узконаправленный когерентный световой пучок , при этом
выделяется некоторое количества тепла. При малой мощности накачки эти электромагнитные волны , которые испускает лазер , некоррелированные , и излучение подобно излучению обычной лампы. Такое некогерентное излучение - это шум , хаос. При повышении внешнего воздействия в виде накачки до порогового критического значения некогерентный шум преобразуется в (чистый тон( , то есть испускает число синусоидальная волна - отдельные атомы ведут себя строго коррелированным образом , самоорганизуются. Лампа ( Лазер Хаос ( Порядок Шум ( Когерентное излучение В сверхкритической области режим (обычной лампы( оказывается не стабильным , а лазерный режим стабильным , рисунок 2.9. [pic] Видно , что образование структуры в жидкости и в лазере формально описывается весьма сходным образом . Аналогия связана с наличием тех же самых типов бифуркаций в соответствующих динамических уровнях. Подробнее этот вопрос рассмотрим в практической части , в 3 главе. 2. ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ . В этой области синергетика сосредотачивает свое внимание на тех явлениях 2.3.2а. РЕАКЦИЯ БЕЛАУСОВА - ЖАБОТИНСКОГО. Рассмотрим реакцию Белоусова -Жаботинского . В колбу сливают в определенных пропорциях Ce2(SO4) , KBrO3 , CH2(COOH)2, H2SO4 , добавляют несколько капель индикатора окисления - восстановления - ферроина и перемешивают . Более конкретно - исследуются окислительно - восстановительные реакции Ce 3+_ _ _ Ce 4+ ; Ce 4+_ _ _ Ce 3+ в растворе сульфата церия , бромида калия , малоковой кислоты и серной кислоты . Добавление феррогена позволяет следить за ходом реакции по изменению цвета ( по спектральному поглащению ) . При высокой концентрации реагирующих веществ , превышающих критическое значение сродства , наблюдаются необычные явления . При составе сульфат церия - 0,12 ммоль/л бромида калия - 0,60 ммоль/л малоковой кислоты - 48 ммоль/л 3-нормальная серная кислота , немного ферроина Рис. 2.10. Временные (а) и пространственные (б) периодические структуры в реакции Белоусова - Жаботинского. 3. БИОЛОГИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ . Животный мир демонстрирует множество высокоупорядоченных структур и
великолепно функционирующих . Организм как целое непрерывно получает потоки
энергии ( солнечная энергия , например , у растений ) и веществ (
питательных ) и выделяет в окружающую среду отходы жизнедеятельности . Более конкретно биологические системы мы рассмотрим в 3 главе , посмотрим динамику популяций одного вида и систему (жертва - хищник( . 4. СОЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ . Социальная система представляет собой определенное целостное
образование , где основными элементами являются люди , их нормы и связи . Социальная самоорганизация - одно из проявлений спонтанных или вынужденных процессов в обществе , направленная на упорядочение жизни социальной системы , на большее саморегулирование. Социальная система является системой открытой способная , даже вынужденная обмениватся с внешним миром информацией , веществом , энергией. Социальная самоорганизация возникает как результат целеноправленных индивидуальных действий ее составляющих. Рассмотрим самоорганизацию в социальной системы напримере урбанизации
зоны . Проводя анализ урбанизации географических зон можно предположить ,
что рост локальной заселенности данной территории будет обусловлен наличием
в этой зоне рабочих мест . Однако , здесь существует некоторая зависимость . = Кni(N + ( Rk Sik - ni) - dni ( 2.13 ) dt k где Rk вес данной к - ой функции , ее значимость . Экономическая функция изменяется с ростом численности : определяется спросом на к - й продукт в i - й области в зависимости от увеличения численности населения и конкуренции предприятий в других зонах города . Появление новой экономической функции играет роль социально экономической флуктуации и нарушает равномерное распределение плотности населения. Такие численные расчеты по логистическим уравнениям могут быть полезны прогнозировании многих проблем. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. В рассмотренных примерах в литературе имеются лишь общие выводы и заключения , не приведены конкретные аналитические расчеты или численные . Целью настоящей дипломной работы является аналитические и численные исследования самоорганизации различных систем . ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ САМООРГАНИЗАЦИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ. 3.1. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА . Для того , чтобы экспериментально изучить структуры , достаточно иметь сковороду , немного масла и какой ни будь мелкий порошок , чтобы было заметно движение жидкости . Нальем в сковороду масло с размешанным в нем порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1) [pic] Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно , то можно
считать , что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры Будем плавно увеличивать температуру Т1 . С ростом разности температур до значения (Тc наблюдается все та же картина , но когда (Т ( (Тc , вся среда разбивается на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в центре каждой из которых жидкость движется вверх , по кроям вниз . Если взять другую сковороду , то можно убедиться , что величина возникающих ячеек практически не зависит от ее формы и размеров . Этот замечательный опыт впервые был проделан Бенаром в начале нашего века , а сами ячейки получили название ячеек Бенара . Элементарное качественное объяснения причины движения жидкости
заключается в следующем . Из-за теплового расширения жидкость расслаивается . = ( - ( = q ( ((( < 0 (3.1) dt T2 T1 T1 ( T2 Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной структуры . При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх , а на ее периферии - вниз. Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению пространственной структуры - возникает хаотический турбулентный режим. [pic] Рис. 3.2. Иллюстрация возникновения тепловой конвекции в жидкости . К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрация возникновения тепловой конвекции в жидкости . 2 ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА. Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали . Здесь же , рассмотрим простую модель лазера . Лазер - это устройство , в котором в процессе стимулированного излучения порождаются фотоны . Изменение со временем числа фотонов n , или другими словами , скорость порождения фотонов , определяется уравнением вида : dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2) Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением . Он
пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N . Прирост = G N n (3.3) Здесь G - коэффициент усиления , который может быть получен из
микроскопической теории . Член , описывающий потери , обусловлен уходом
фотонов через торцы лазера . Единственное допущение , которое мы принимаем Потери = 2(n (3.4) 2( = 1/ t0 , где t0 - время жизни фотона в лазере . Теперь следует учесть одно важное обстоятельство , которое делает (2.1) нелинейным уравнением вида : [pic] (3.5) Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это уменьшение (N пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов , поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное состояние . (N = (n (3.6) Таким образом , число возбужденных атомов равно N = N0 - (N (3.7) где N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней накачкой , в отсутствии лазерной генерации. Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей упрощенной лазерной модели : [pic] (3.8) где постоянная k дает выражение : k1 = (G k = 2( - GN0 (( 0 (3.9) Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико , то k положительно , в то время как при достаточно больших N0 k - может стать отрицательным . Изменение знака происходит когда GN0 = 2( (3.10) Это условие есть условие порога лазерной генерации . Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет , в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны. Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах . Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически : Запишем уравнение (3.8) в следующем виде : [pic] Разделим исходное уравнение на n2 . [pic]
и введем новую функцию Z : [pic] перепишем его в следующем виде : [pic] разделим обе части данного уравнения на -1 , получим [pic] (3.11) Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли , поэтому сделаем следующую
замену Z = U(V , где U и V неизвестные пока функции n , тогда Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид U1 V + UV1 - k UV = k1 преобразуем , получим U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12) Решим уравнение (3.12) V1 - k V = 0 ( dV/dt = k V сделаем разделение переменных dV/V =k dt ( ln V = k t результат V = ekt (3.13) Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде : U1 ekt = k1 [pic] (3.14) По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения [pic] Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно [pic] (3.15) Начальное условие n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мы можем определить константу с следующим образом [pic] Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим [pic] (3.16) Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 . При k(0 ; ekt ( 0 ; (ekt - 1)(0 , то есть (ekt - 1)(k1/k(0(( [pic] n(k)при k(0 ( 0 , следовательно [pic] Перепишем (3.16) в следующем виде [pic] Линеаризуем нелинейное уравнение , получим [pic] Построим график для этих условий [pic] Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере : кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог кривая 3 : k > 0 , режим лампы. При k = 0 уравнение (3.8) примет вид [pic] решая его , получим [pic] [pic] (3.8) При условии [pic] ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n0 , но в зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3). Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение [pic] 3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ . О распространении и численности видов была собрана обширная информация . ОДИН ВИД. Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n . При наличии пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью : [pic] и гибнут со скоростью : [pic] Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы так : [pic] Введем обозначение ( = kA - d Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции. [pic] Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост ; (>0 , kA>d Кривая 2: Экспоненциальная гибель ; (>0 , kA>d. [pic] В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость потребления пищи [pic] Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со скоростью : [pic] Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного количества органического вещества A + n = N = const , Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) : [pic] (3.17) Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом [pic] , обозначим kN - d = k1 Получим : [pic] Воспользуемся [pic]табличным интегралом , [pic] ,полученное уравнение примет вид : [pic][pic] решим это уравнение , преобразуя [pic] [pic] сократим полученное выражение на k , и перенесем переменную k1 в правую часть , получим [pic] отсюда n(t) ( [pic] [pic] Начальные условия : [pic] откуда [pic] Подставляя с в решение , получим уравнение в следующем виде [pic] ранее мы обозначали , что [pic] , подставляем и преобразуем [pic] сократим на k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение уравнения (3.17) [pic] Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения - это решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором конечном стационарном уровне: [pic] то есть параметр n1 указывает высоту плато насыщения , к которому стремится n(t) с течением времени . Параметр n0 указывает начальное значение численности одного вида популяции : n0 = n(t0) . Действительно , [pic] ,то есть n1 - предельная численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр n1 характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец , параметр (kN - d) задает крутизну начального роста . Отметим , что при малой исходной численности n0 (начальное число особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным [pic] (эволюция популяции одного вида) Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным . Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1) сменяется кривой с насыщением . Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной термодинамики. Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в
рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах [pic] Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу , представлена на рисунке 3.6. [pic] Рис. 3.6. Последовательное заполнение экологической ниши различными видами . Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о заполнении заданной экологической ниши . 2. СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК». Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник» Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить существование диссипативных структур . Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически изобразить так : Кролики + Трава ( Больше кроликов К + Т ( 2К Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы ,
вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками Реакция « Кролики - Трава » происходит спонтанно в направлении увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго начала термодинамики . Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов возрастает число лисиц : Лисицы + Кролики ( Больше лисиц Л + К ( 2Л В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз человека , точнее говоря происходит процесс Лисицы ( Меха Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале подведена (например, в виде травы ). Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии - аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или биологической клетке . Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее (рис. 3.7). [pic] С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с
последовательным прохождением точек графика . Через некоторое время Поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении). Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры [pic] Здесь буквы К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов , лисиц , травы ; коэффициенты k1, k2, k3 - обозначают соответственно скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и скорость гибели лисиц. В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1),
постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные
значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать истребление. Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности кроликов и так далее, то есть видно , что система самоорганизуется. Программа прилагается. [pic] ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Мы видели , что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в
открытых системах . И.Р. Пригожин определяет два времени . Одно -
динамическое , позволяющее задать описание движения точки в классической
механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое время Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного
состояния . Эти процессы неограниченны . Здесь , с одной стороны , как мы
видели , нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики , а с
другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в
открытой системе. Развитие связано , вообще говоря , с углублением
неравновесности , а значит , в принципе с усовершенствованием структуры . Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую систему взглядов - синергетику . Она изучает вопросы самоорганизации и поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных систем , чтобы применять их в управлении . Эта задача имеет огромное значение , и , по нашему мнению , успехи в ее исследовании будут означать продвижение в решении глобальных задач : проблемы управляемого термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других . Мы понимаем , что все приведенные в работе примеры относятся к модельным
задачам , и многим профессионалам , работающим в соответствующих областях
науки , они могут показаться слишком простыми . В одном они правы :
использование идей и представлений синергетики не должно подменять
глубокого анализа конкретной ситуации . Выяснить , каким может быть путь от
модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов. Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без
вычислительного эксперимента , без построения приближенных и качественных
моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании). Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными
и интересными свойствами . Структуры в таких средах могут развиваться
независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать . Известно , что имеется некоторая разобщенность естественно научной и гуманитарной культур . Сближение , а в дальнейшем , возможно , гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем и синергетики . [pic] [pic] ЛИТЕРАТУРА : [pic] |
|