Статья: Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Д.Н. Лавров, Омский государственный университет, кафедра математического моделирования

1. Введение

Рассмотрим набор M датчиков, произвольным образом расположенных в пространстве. Дипольная решетка получается из данного набора путем сдвига вдоль вектора h. Вектор h назовем порождающим.

Образуем систему из L дипольных решеток, с каждой из которой ассоциирован порождающий вектор Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, которую назовем линейной, если система порождающих векторов коллинеарна, плоской - если компланарна, и объемной - в остальных случаях.

Пусть на эту систему воздействует D плоских волновых фронтов. Каждому из них сопоставлен волновой вектор Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток.

Поставим задачу оценивания компонент волновых векторов по измерениям, полученным от системы дипольных решеток (СДР). Используя метод поворота подпространств [], получим оценки линейных комбинаций типа Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокили в матричном виде

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

где M - Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток-матрица измерений фаз; H - Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток-матрица порождающих векторов, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток; N - Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток-матрица волновых векторов, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток;где n - размерность волнового вектора, принимаемая за единицу для линейной СДР, n=2 - для плоской и n=3 - для объемной СДР.

Характерной особенностью метода поворота подпространств является отсутствие информации о глобальной геометрии дипольной решетки, что влечет произвольную перестановку элементов строк матрицы M. Данное обстоятельство обозначим матричным мультииндексом Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, представляющим собой целочисленную матрицу, каждая строка которой есть перестановка целых от 1 до D. Таким образом

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

2. Построение оценок

2.1 Оценка наименьших квадратов

Пусть L>n. Рассмотрим матрицу ошибок:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Найдем N, являющуюся решением задачи

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток,

где

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

матрица ошибок выписанная по столбцам. Продифференцировав (3) по N (с учетом легко проверяемого свойства Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток), приравняв к нулю полученное выражение - для МНК-оценки матрицы волновых векторов получим:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Для нахождения Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокподставим (4) в целевую функцию (3), после простых преобразований имеем

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

где Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток- проектор на пространство, ортогональное линейной оболочке столбцов H и Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток.

Задачу поиска оценки Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокв дальнейшем будем называть задачей согласования измерений.

2.2 Оценка максимального правдоподобия

Оценки (4) и (5) легко обобщаются, если ошибки измерений Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокнормально распределены с нулевым средним и Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокматрицей ковариаций B-1.

Записав логарифм функции правдоподобия, исключив константы, не зависящие от оцениваемых параметров, приходим к оптимизационной задаче вида

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Выражение (2) запишется в виде Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, где IL - Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток-единичная матрица; Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетоки Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток- вектора соответствующих размерностей, полученные из Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетоки N выписыванием компонент по столбцам. Вместо мультииндекса Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетоквведя Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокматрицу перестановок P, являющуюся произведением матриц элементарных перестановок (причем каждая из этих матриц является допустимой, если переставляет две компоненты Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокс одинаковыми первыми индексами), получим:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Продифференцировав (6) и приравняв нулю полученные производные по Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, получим оценку совокупности волновых векторов:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Подставляя (8) в (6), получаем решение задачи согласования

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

с проектором

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

Минимум (9) ищется по всевозможным допустимым матрицам P.

Оценка максимального правдоподобия для одного волнового вектора приведена в []. Выражение (8) является обобщением оценки максимального правдоподобия волновых векторов D-источников излучения.

3. Оптимизация систем дипольных решеток

Будем оптимизировать СДР путем варьирования параметров порождающих векторов, полагая при этом, что длины их равны, тогда без ограничения общности их можно считать единичными. Таким образом, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток- для плоской решетки и Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток- для объемной решетки.

Известно, что матрица ковариаций МНК-оценки волнового вектора есть Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. В качестве числового значения качества оценки можно выбрать любую матричную норму Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. След симметрической положительно определенной матрицы удовлетворяет всем аксиомам матричной нормы, поэтому в качестве целевой функции выберем Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. Целевую функцию для плоской решетки обозначим f, а для объемной - g. Имеем:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

где M1, M2, M3 - главные миноры матрицы Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток.

Далее будем использовать свойства целевых функций:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток: f, g - инвариантны относительно вращений в пространстве строк H.

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток: f - симметрическая функция своих аргументов (перестановка Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетоки Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокне меняет значения функции).

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток: g - симметрическая функция пар аргументов (перестановка Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетоки Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокне меняет значения функции).

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток: f, g - периодичны по каждому аргументу.

Используя первое свойство, можно понизить число неизвестных параметров в случае плоской СДР-единицу (положив Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток) и для объемной СДР на три (Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток). Второе и третье утверждения позволяют сузить область поиска минимума, а также при известном решении получать симметричные ему.

Вместо минимизации функции f удобнее искать максимумы:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Получим явные выражения для f, градиента Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетоки матрицы Гессе Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток.

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

Находя частные производные по Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, получим

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Матрица Гессе, элементы которой имеют вид:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Рассмотрим СДР с минимально возможным количеством дипольных подрешеток (для плоской СДР L=3, для объемной - L=4).

Для случая L=3 (плоская СДР) положим Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. Линии равного уровня f изображены на рис. 1. Используя (13), запишем систему уравнений Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокв виде

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

Из всех решений системы

Рис. 1 Целевая функция f (L=3) в квадрате Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

существует одно нетривиальное решение: Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, остальные получаются применением свойств Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток.

Проверим, что в данной точке Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток.

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

с собственными числами Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решетокОценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. Так как собственные числа отрицательны, то матрица Гессе отрицательно определена. Таким образом, представленные решения являются точками строгих глобальных максимумов. В частности, также следует, что гексогональные кольцевые решетки оптимальны в смысле минимума целевой функции (10).

Для объемной СДР (n=3) численная оптимизация методом циклического покоординатного спуска [] для L=4 (с точностью до машинного нуля) приводит к конфигурации векторов hi, образующих правильный тетраэдр, то есть решение задается равенствами: Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток(в силу свойства Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток) Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. Вторая конфигурация, к которой сходился алгоритм, получается из первой путем изменения направления какого-либо одного из порождающих векторов. Аналитические вычисления показывают, что градиент в данной точке равен нулю, а матрица Гессе равна:

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

Характеристический многочлен матрицы имеет вид

Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток

 

с корнями: Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток, Оценки волновых векторов, задача согласования и оптимизация систем дипольных решеток. Так как корни положительны, то положительно определена и матрица Гессе. Следовательно, найдено оптимальное (в смысле минимума (11)) решение. Эксперименты по численной оптимизации не приводят к другим решениям, кроме указанных. Это дает основание полагать, что найденные решения - точки глобальных минимумов g.

Список литературы

Полрадж А., Рой Р., Кайлатх Т. Оценивание параметров сигнала методом поворота подпространств // ТИИЭР. 1986. Т. 74. N.7. С.165-166.

Белов В.И. Теория фазовых измерительных систем / Под. ред. Г.Н.Глазова. Томск: ТГАСУР, 1994. С.144.

Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. С. 552.

©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru