Шпаргалка: Высшая математика

Основные теоремы и определения

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности Высшая математика называется числовым рядом.

Высшая математика

При этом числа Высшая математика будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда.

Определение. Суммы Высшая математика, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

Определение. Ряд Высшая математика называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Высшая математика

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда Высшая математика и Высшая математика, где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд Высшая математикасходится и его сумма равна S, то ряд Высшая математикатоже сходится, и его сумма равна СS. (C ¹ 0)

3) Рассмотрим два ряда Высшая математикаи Высшая математика. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд Высшая математика, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды Высшая математикаи Высшая математикасходятся и их суммы равны соответственно S и s, то ряд Высшая математика тоже сходится и его сумма равна S + s.

Высшая математика

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность Высшая математикабыла сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого Высшая математика существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

Высшая математика.

1.3 Определение. Ряд Высшая математиканазывается равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда Высшая математиканеобходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

Высшая математика

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд Высшая математикасходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

Высшая математика

т.е. имеет место неравенство:

Высшая математика.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд Высшая математика мажорируется числовым рядом Высшая математика.

ряд Высшая математика называется положительным, если Un≥0, для всех n € N

Интегральный признак Коши.

Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = Высшая математика и несобственный интеграл Высшая математика одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд Высшая математика сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл Высшая математика сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд Высшая математика называется общегармоническим рядом.

Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и Высшая математика то интегралы Высшая математика и Высшая математика ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

Высшая математика.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Высшая математика

Применяем признак Даламбера:

Высшая математика.

Получаем, что этот ряд сходится при Высшая математикаи расходится при Высшая математика.

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1: Высшая математика ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ).

При х = -1: Высшая математика ряд расходится (гармонический ряд).

1 теорема Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд Высшая математика сходится при x = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех Высшая математика.

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

Высшая математика

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

Высшая математика

Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии Высшая математика по условию теоремы меньше единицы, следовательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд.

Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод, что ряд Высшая математика сходится, а значит ряд Высшая математика сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд Высшая математикасходится в точке х1, то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины 2Высшая математика с центром в точке х = 0.

Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех Высшая математика.

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что Высшая математика ряд абсолютно сходится, а при всех Высшая математикаряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Радиус сходимости может быть найден по формуле:

Высшая математика

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

Высшая математика

или, короче, Высшая математика

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

Высшая математика

или, короче, Высшая математика

3,3

2 Теорема Абеля. Если степенной ряд Высшая математика сходится для положительного значения х=х1 , то он сходится равномерно в любом промежутке внутри Высшая математика.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда Высшая математика и Высшая математика при un, vn ³ 0.

Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда Высшая математикаследует сходимость ряда Высшая математика, а из расходимости ряда Высшая математикаследует расходимость ряда Высшая математика.

Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов Высшая математика и Высшая математика. Т.к. по условию теоремы ряд Высшая математикасходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда Высшая математикатоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Высшая математика

Т.к. Высшая математика, а гармонический ряд Высшая математика расходится, то расходится и ряд Высшая математика.

Пример. Исследовать на сходимость ряд Высшая математика

Т.к. Высшая математика, а ряд Высшая математика сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд Высшая математика тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если Высшая математика и существует предел Высшая математика, где h – число, отличное от нуля, то ряды Высшая математика и Высшая математикаведут одинаково в смысле сходимости.

Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.

Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. (См. Формула Тейлора. )

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции Высшая математика и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Высшая математика

Высшая математика

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

Высшая математика

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда Высшая математика сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных Высшая математикасходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

Высшая математика

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Ряд Тейлора.

(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик)

Функция f(z), аналитическая в круге Высшая математика, разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0).

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:

Высшая математика

Высшая математика

Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.

Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 Высшая математика

где Высшая математика- многочлен степени m.

Тогда частное решение ищется в виде:

 Высшая математика

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

 Высшая математика

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

 Высшая математика

где число r показывает сколько раз число Высшая математика является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: Высшая математика, то частное решение этого уравнения будет Высшая математикагде у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

Высшая математика и Высшая математика

Предельный признак Даламбера.

Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел Высшая математика, то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда Высшая математика.

Высшая математика

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда Высшая математика

Высшая математика

Вывод: ряд сходится.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Определение. Совокупность соотношений вида:

Высшая математика

где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Такая система имеет вид:

 Высшая математика (1)

Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции Высшая математика Высшая математика … Высшая математика непрерывны и имеют непрерывные частные производные по Высшая математика, то для любой точки Высшая математика этой области существует единственное решение

Высшая математика

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям Высшая математика

Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций Высшая математика, Высшая математика, … Высшая математика, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. Для сходимости ряда Высшая математикас неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда Высшая математика и Высшая математика при un, vn ³ 0.

Теорема. Если un £ vn при любом n, то из сходимости ряда Высшая математикаследует сходимость ряда Высшая математика, а из расходимости ряда Высшая математикаследует расходимость ряда Высшая математика.

Доказательство. Обозначим через Sn и sn частные суммы рядов Высшая математика и Высшая математика. Т.к. по условию теоремы ряд Высшая математикасходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n sn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un £ vn, то Sn £ sn то частные суммы ряда Высшая математикатоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если Высшая математика и существует предел Высшая математика, где h – число, отличное от нуля, то ряды Высшая математика и Высшая математикаведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Коши. (радикальный признак)

Если для ряда Высшая математикас неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство

Высшая математика,

то ряд Высшая математикасходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

Высшая математика

то ряд Высшая математикарасходится.

Следствие. Если существует предел Высшая математика, то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … = Высшая математика и несобственный интеграл Высшая математика одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд Высшая математика сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл Высшая математика сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд Высшая математика называется общегармоническим рядом.

Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и Высшая математика то интегралы Высшая математика и Высшая математика ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

Высшая математика

где Высшая математика

Признак Лейбница.

Если у знакочередующегося ряда Высшая математика абсолютные величины ui убывают Высшая математика и общий член стремится к нулю Высшая математика, то ряд сходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть Высшая математика- знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел Высшая математика, то при r<1 ряд Высшая математика будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел Высшая математика, то при r<1 ряд Высшая математика будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Пример. Разложить в ряд функцию Высшая математика

при помощи интегрирования.

При Высшая математика получаем по приведенной выше формуле:

Высшая математика

Разложение в ряд функции Высшая математика может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Высшая математика

Тогда получаем: Высшая математика

Окончательно получим: Высшая математика

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

 Высшая математика (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

 Высшая математика (2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

Высшая математика

По свойству абсолютных величин:

Высшая математика

Высшая математика

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Определение. Ряд Высшая математиканазывается абсолютно сходящимся, если сходится ряд Высшая математика.

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Определение. Ряд Высшая математиканазывается условно сходящимся, если он сходится, а ряд Высшая математика расходится.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда Высшая математиканеобходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

5) Если ряды Высшая математикаи Высшая математика сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида Высшая математика взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов.

Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

Тригонометрический ряд.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

Высшая математика

или, короче, Высшая математика

Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2p.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Высшая математика

Высшая математикаТакой результат получается в результате того, что Высшая математика.

Получаем: Высшая математика

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Высшая математикаВысшая математика

Отсюда получаем: Высшая математика

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -p до p.

Получаем: Высшая математика

Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an.

 Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

Высшая математика

Высшая математика

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Функциональные ряды.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда Высшая математика называются функции Высшая математика

Определение. Функциональный ряд Высшая математиканазывается сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности Высшая математика называется суммой ряда Высшая математика в точке х0.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд Высшая математиканазывается областью сходимости ряда.

Определение. Ряд Высшая математиканазывается равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда Высшая математиканеобходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

Высшая математика

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке

[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна Высшая математика, т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-p;p].

Теорема. Если функция f(x) имеет период 2p, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-p;p] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна Высшая математика. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-p;p].

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

Высшая математика y

 f(x)

 a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2p ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2p, то функция продолжается на интервал (b, a + 2p) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2p может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b]

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда Высшая математика - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

Высшая математика

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда Высшая математика сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных Высшая математикасходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

Высшая математика

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд Высшая математикасходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

Высшая математика

т.е. имеет место неравенство:

Высшая математика.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд Высшая математика мажорируется числовым рядом Высшая математика

Ряды Фурье для функций любого периода.

Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:

Высшая математика

Высшая математика

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Высшая математика

Для нечетной функции:

Высшая математика

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2p и на отрезке

[-p;p] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок

[-p;p] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна Высшая математика, т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).

©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru