Дипломная работа: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Карпова Наталия Анатольевна

Санкт-Петербургский государственный университет

Санкт Петербург 2003

Введение.

Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т.д.

Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:

получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;

нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.

Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.

Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.

Для решения второй задачи используется метод П.Л. Чебышева, создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.

Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.

Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:

метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,

метод Чебышева получения ортогональных полиномов,

которые были положены в основу обобщенного метода Грамма – Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.

Глава 1. Система кривых Пирсона.

В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы.

§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона.

Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, таким образом, можем записать Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде.

Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей            (1)

и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).

Общий интеграл этого уравнения представим в виде:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей       (2),

следовательно, от его дискриминанта

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

который можно написать в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

вводя параметр

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Или иначе, величину æ можно представить в виде:

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей представимы через центральные моменты статистических распределений Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей к-го порядка, которые определяются по формуле

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей есть

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Через величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей можно представить и величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей следующим образом [5]:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Величина æ называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и различные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:

А. Если æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков.

В. Если 0< æ<1, то Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и уравнение (1) имеет комплексные корни.

С. Если æ>1, то Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.

Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответственно типами I, IV и VI. Затем æ может равняться Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.

В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.

§ 2. Основные типы кривых Пирсона.

В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.

Тип I.

Пусть æ<0. Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, так что можем записать

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Пусть еще

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда уравнение (1) перепишется в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и общий интеграл его можно представим в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и значения Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей должны удовлетворять условиям

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип I получается, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей заключается в интервале Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

или, как обычно пишут

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Так как Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей выражаются определенным образом через моменты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то, очевидно, и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей также выражаются через те же моменты. Для этого введем число

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда простое преобразование дает следующие формулы:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.

Далее, пользуясь этими же формулами,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

следовательно,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Затем

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

или, после простых подсчетов,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Таким образом, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей представляют корни уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

Когда найдены Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей находятся по формулам

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

в которых

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Здесь использовано равенство

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

которое получается, так мы имеем

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

следовательно,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

откуда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

(так как Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей), нужно брать Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Таким образам, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей есть корни уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей по формулам

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

в которых

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей находится из равенства

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Остается найти Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Оно находится по равенству

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

При помощи подстановки

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

мы находим:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Следовательно,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип IV.

Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям

0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.

Пусть эти корни равны

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда уравнение (1) будет

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

откуда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

или

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,(3)

причем

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и константы Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

(здесь Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей),

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - функция Пирсона, определяемая равенством

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Интеграл в правой части можно привести к другому виду:

подстановка

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

приводит его к виду

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Обычно, полагая

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

пишут Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип VI.

Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

(в нем Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей). Его параметры вычисляются по формулам:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

причем берется Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей; Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей дают выражения:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

причем должно быть Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

беря за начало координат точку

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Параметры Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей вычисляются как выше, а Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей имеет теперь такое выражение:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Кривая простирается от Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей до Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, и от Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей до Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

§ 3. Переходные типы кривых Пирсона.

Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значениях критерия æ и при некоторых условиях, налагаемых на Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип II.

Получается при æ=0,Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

отнесенное к моде, которая теперь равна средней (кривая симметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Кривая простирается от -а до а. На концах распределения Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Эта кривая имеет так называемую U-образную форму с антимодой вместо моды.

Тип VII.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

получается при æ=0,Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и имеет параметры

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Нчало координат в средней (средняя равна моде).

Тип III.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

с началом координат в моде и с параметрами

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Получается при æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Тип V.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

с параметрами

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

кривая получается при æ=1 и бесконечна в одном направлении.

Тип VIII.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

простирается от –а до 0, получается при

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

причем Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей зависит от Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, а параметр т получается как решение уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и он не должен быть больше 1 или меньше 0.

Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

а начало в точке

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Тип IX.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

простирается от –а до 0, получается при

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Параметр т определяется как решение уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

а начало будет в точке

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Тип X.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

с началом координат в точке Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей; получается как специальный случай кривой типа III при Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип XI

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

получается при

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и простирается от Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей до Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, а т находится из уравнения

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и b зависит от m.

Тогда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

а начало координат в точке

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип XII.

Имеет уравнение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

получается при

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Кривая простирается от Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей до Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, начало координат в точке Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тип N.

Тринадцатый тип кривых распределения Пирсона – нормальная кривая с уравнением

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

которая получается при условиях

æОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Типы II, VI, VII, VIII, IX представляют специальные случаи кривой типа I, тип X – специальный случай типа III, а тип XI - типа VI. [5] (См. приложение 1.)

Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом, который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывную дробь суммы

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и рассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби. Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечают условиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение для нахождения кривых распределения вероятностей.

§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.

Пусть даны значения интерполируемой функцииОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

соответствующие значения аргумента Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Каждому значению аргумента Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей ставится в соответствие частота Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Требуется найти такую целую функцию

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

В данной задаче в качестве веса Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей предлагается рассмотреть [8]

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где n есть

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

или иначе говоря n - сумма всех испытаний.Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Для решения нашей задачи находим коэффициенты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, которые определяются из следующих уравнений

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

……………………

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

……………………

……………………

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

……………………

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.

Есть другой вариант построения искомого полинома [8].

Пусть будет Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей целая функция от Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейстепени Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, которая обращается в Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейпри Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Положим

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - целые функции степеней Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, а Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - коэффициенты.

Пусть теперь сумма Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей первых членов выражения Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

равняется

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

т.е. Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Каковы в этом случае условия относительно Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей при которых сумма

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

имеет наименьшее значение?

Обозначим эту сумму через Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

и, подставляя в нее

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Отсюда следует:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Так как Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей будут равняться 0.

В результате преобразований получим выражения для коэффициентов Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

………………

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей;

………………

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Теперь можно представить функцию

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

в таком виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Для дальнейшего перехода к целой функции степени Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

достаточно прибавить к найденному выражению функции степени Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, такой новый член

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейпервых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.

Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, определив через данные величины Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей коэффициенты при Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в выражении этих функций.

Далее, с помощью разложения дроби

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

по нисходящим степеням Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей получим, что дробь

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

дает приближенное представление функции [7]

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

с точностью до членов степени

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

включительно. Здесь Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейесть функции степеней Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей; поэтому можно положить

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Что касается Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то его можно приравнять Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Разлагая

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

в непрерывную дробь вида

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей для определения этих постоянных через данные значения Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Выражения для Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей будет иметь вид:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Выражения для коэффициентов Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей будут следующими:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Вводя для сокращения обозначение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

через Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, запишем выражение для Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в таком виде:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Для Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей выражение будет иметь вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Что касается величин Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то они равны соответственно

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Теперь перейдем к определению коэффициентов Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в выражении

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Для Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейполучим выражение

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Это выражение весьма упростится, если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Тогда Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, а выражение для Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей будет иметь вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Также упростятся выражения для

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Функция Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей станет равной Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей определяются путем последовательных подстановок выражений Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в формулы

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Оценка результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному уравнению параболы.

Обозначим сумму квадратов отклонений через Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Тогда можно написать

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейбудет равняться

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

а Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейвыражать рекуррентно через Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейпо формуле

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Итак,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Мы видим, что в зависимости от нашей весовой функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей в разложении мы получим разные системы ортогональных полиномов.

§ 2. Обобщение Грамма - Шарлье.

Пусть по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей на соответствующем интервале. Теперь, для представления в удобном для практического использования виде, запишем полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используем обобщение Грамма – Шарлье, которое основывается на применении ортогональных полиномов Чебышева и состоит в том, что кривая распределения вероятностей представима в виде следующего разложения:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей (4)

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - есть к–ая производная функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Здесь полагаем, что

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Таким образом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Производные функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей мы можем представить в виде [3]

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

тогда можем записать

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

где функции Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей должны удовлетворять следующему свойству:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей       если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей    (5)

А коэффициенты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей получаются из равенства (4) с помощью домножения на любой из ортогональных полиномов Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и, интегрирования полученного равенства:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей=

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

=Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Отсюда следует, что

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

На практике в этом разложении мы используем только четыре первых члена, и коэффициенты перед ними есть:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей           Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей          

Коэффициенты Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей имеют четкий статистический смысл, а именно: коэффициент Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, выраженный через Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, отвечает за асимметрию закона распределения, и коэффициент Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей выраженный через Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - за эксцесс или дефект кривой распределения.

Свойство (5) есть свойство ортогональности полиномов, т. е. Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей по определению является системой ортогональных полиномов, которая получена по способу Чебышева в предыдущем параграфе [3], [5].

§ 3. Весовые функции и системы ортогональных полиномов.

В общей теории ортогональных полиномов известно, что система ортогональных полиномов называется классической, если она ортогональна относительно весовой функции, которая является решением дифференциального уравнения Пирсона [2], [6]. То есть, здесь прослеживается связь между теорией классических ортогональных полиномов и задачами математической статистики (нахождением закона распределения вероятностей).

Полиномы Чебышева - Эрмита.

Пусть многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона (1) после переноса начала координат запишется в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

тогда решение этого уравнения запишется в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей    (6).

Линейным преобразованием независимого переменного

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

эта функция приводится с точностью до постоянного множителя Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей к весовой функции многочленов Чебышева – Эрмита, которая имеет вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Поскольку умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не нарушая общности, можно полагать Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. В данном случае ортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные многочлены Чебышева – Эрмита Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей по формуле

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

В этом случае условие ортогональности запишется в виде:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Полиномы Чебышева - Лагерра.

Пусть теперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Тогда его решение запишется в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Многочлены, ортогональные с таким весом, можно рассматривать как обобщение многочленов Чебышева – Лагерра, ортогональных с весом

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Причем и здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева – Лагерра Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, а условие ортогональности будет:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей           если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Полиномы Якоби.

Предположим, что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля. Тогда Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, и уравнение Пирсона (1) представимо в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей,

где Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей - некоторые постоянные и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Тогда решение уравнения (1)

представимо в виде

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и определяет некоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным преобразованием независимого переменного и умножением на постоянную сводится к системе многочленов Якоби Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Так как весовая функция многочленов Якоби имеет вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

И соответственно условие ортогональности будет иметь вид:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей       если Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Многочлены Чебышева I рода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция, относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Многочлены Чебышева II рода так же являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Следует так же отметить, что многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

и есть частный случай весовой функции многочленов Якоби при Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.

В этой главе рассматриваются примеры нахождения кривых распределения по методу кривых Пирсона с использованием теоретических исследований, рассмотренных в первой и второй главах дипломной работы. Было написано программное обеспечение, с помощью которого были получены и проинтерпретированы численные результаты.

§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей.

Рассмотрение примеров заключалось в том, что было рассмотрено пятьдесят случайных выборок, а далее были рассмотрены примеры выборок с заданным законом распределения. Согласно рассмотренному ниже алгоритму были произведены соответствующие вычисления, и по каждой выборке была построена кривая распределения вероятностей. При проведении испытаний было получено, что кривая распределения сорока семи из пятидесяти рассмотренных выборок есть кривая Пирсона первого типа, которая определяется следующей формулой:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей.

Здесь нужно отметить разнообразие кривых Пирсона, делающее их применение очень гибким. Это означает, что кривые распределения вероятностей первого типа при различных значениях параметров Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей могут иметь различную форму.

Ниже рассмотрено несколько примеров наиболее часто встретившихся форм кривой распределения I типа.

Пример 1.

Рассмотрим выборку:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

1 10,55233622 2 Кривая распределения вероятностей первого типа.
2 13,44763172 2
3 17,80800986 1
4 4,963081479 2 Параметры кривой:
5 14,66424847 2
6 12,436602 1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей10,0143

7 9,36697793 2

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей7,6909

8 15,20854056 1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей0,9984

9 15,66078138 2

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей0,5348

10 8,748272777 2

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей0,0759

11 9,028156996 1
12 18,93642914 2
13 18,84283829 1
14 14,6049341 1

Следовательно, кривая распределения вероятностей будет определена на промежутке Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей и будет иметь вид:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей                                                    1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей 

              Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей                                                    0                                   Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

                                                                                                                        Рис.1

Из чего следует, что если параметры кривой распределения первого типа будут находиться в пределах Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей, то мы будем получать форму кривой распределения, изображенную на рис.1.

Из пятидесяти рассмотренных выборок двадцать четыре имеют такую форму кривой распределения вероятностей.

Пример 2.

Рассмотрим другую выборку:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

1 8,460199654 2 Кривая распределения вероятностей первого типа.
2 45,34087276 8
3 18,07745451 5
4 5,419406056 8 Параметры кривой:
5 18,67596108 6
6 23,24656701 9

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей17,4066

7 18,95143622 1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей37,6794

8 53,27426755 3

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей-0,3882

9 54,93095666 1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей0,3243

10 24,27284002 2

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей0,0187

11 17,74883789 4

Кривая распределения вероятностей имеет в этом случае форму, показанную на рис. 2.

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей                                                             1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

              Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей                                                    0                                             Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

                                                                                                            Рис.2

В этом случае параметры кривой распределения будут: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. И если параметры кривой распределения другой выборки будут удовлетворять этим неравенствам, то форма кривой распределения этой выборки будет похожа на рис. 2.

Этот случай встретился нам семь раз из пятидесяти.

Пример 3

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

1 3,881268442 7 Кривая распределения вероятностей первого типа.
2 1,343869925 17
3 3,770335495 11
4 2,860628724 9 Параметры кривой:
5 2,043179214 4
6 1,447737217 10

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей1,2163

7 2,43993476 13

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей1,4994

8 1,658227324 8

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей-0,7286

9 3,98119396 16

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей-0,6654

10 1,391261339 5

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей0,1632

Кривая распределения вероятностей имеет вид:

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

                             1

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей  Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей                            0                                                         Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

                                                                                                Рис. 3

Такой будет форма кривой распределения вероятностей, если параметры Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей. Эта форма кривой встречается шестнадцать раз из пятидесяти.

§2. Алгоритм вычислений.

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
Тип кривой распределения вероятностей
Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Проверка условий для Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

æ Пирсона
Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
Исходные данные

     Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

    Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностейОртогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
i
Метод Пирсона.

Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

Заключение.

В дипломной работе были рассмотрены вопросы нахождения распределения вероятностей по заданным выборочным значениям случайной величины. В первой главе было рассмотрено решение дифференциального уравнения Пирсона, проклассифицированы с помощью æ критерия Пирсона, найдены типы кривых распределения вероятностей и параметры, соответствующие каждому типу.

Во второй главе был рассмотрен подход Чебышева к получению систем ортогональных полиномов, которые обладают свойством метода наименьших квадратов. Было рассмотрено применение способа Чебышева для нахождения кривой распределения вероятностей по обобщенному методу Грамма – Шарлье.

В третьей главе описывается алгоритмическое обеспечение нахождения кривых распределения вероятностей по методу Пирсона.

Результаты дипломной работы могут представлять большое значение для решения многих практических задач, так как часто возникает необходимость по экспериментальным данным оценить распределение вероятностей измеренной случайной величины.

Список литературы

Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1999

Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948

Митропольский А.К. Техника статистических распределений. М.: издательство “Наука”, 1971

Немчинов В.С. Полиномы Чебышева и математическая статистика. М.: издание Московской ордена Ленина сельскохозяйственной академии имени К.А. Тимирязева, 1946

Романовский В. И. Математическая статистика. Издательство Академии Наук УзССР, 1961

Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: издательство “Наука”, 1976

Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

Хотимский В. И. Выравнивание статистических рядов по методу наименьших квадратов (способ Чебышева). М.: Государственное статистическое издательство, 1959

©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru