Реферат: Метод Монте-Карло и его применение

Курсовая работа Зубанова М. А., студента 3 курса очного отделения физико-математического факультета

Арзамасский государственный педагогический институт имени А.П.Гайдара

Кафедра математического анализа

Арзамас-2002 г.

Введение.

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайных величин с целью вычисления характеристик их распределений.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа p с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Существо дела заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число p, и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей

§1. Математическое ожидание, дисперсия.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятность.

Метод Монте-Карло и его применение,

где Х – случайная величина, Метод Монте-Карло и его применение - значения, вероятности которых соответственно равны Метод Монте-Карло и его применение.

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: Метод Монте-Карло и его применение.

Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: Метод Монте-Карло и его применение.

§2. Точность оценки, доверительная вероятность. Доверительный интервал.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

Пусть, найденная по данным выборки, статистическая характеристика Метод Монте-Карло и его применение служит оценкой неизвестного параметра Метод Монте-Карло и его применение. Ясно, что Метод Монте-Карло и его применение тем точнее определяет параметр Метод Монте-Карло и его применение, чем меньше абсолютная величина разности Метод Монте-Карло и его применение. Другими словами, если d>0 и Метод Монте-Карло и его применение, то , чем меньше d, тем оценка точнее. Положительное число d характеризует точность оценки.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки Метод Монте-Карло и его применение по Метод Монте-Карло и его применение называют вероятность g, с которой осуществляется неравенство Метод Монте-Карло и его применение.

Доверительным называют интервал Метод Монте-Карло и его применение, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью g.

§3. Нормальное распределение.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной  случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией 

Метод Монте-Карло и его применение.

а - математическое ожидание, s - среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

Глава 2. Метод Монте-Карло

§1. Общая схема метода Монте-Карло.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое Метод Монте-Карло и его применение и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a* искомого числа a:

Метод Монте-Карло и его применение.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а*.

§2. Оценка погрешности метода Монте-Карло.

Пусть для получения оценки a* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя Метод Монте-Карло и его применение, которая принята в качестве искомой оценки: Метод Монте-Карло и его применение. Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g: Метод Монте-Карло и его применение.

Интересующая нас верхняя грань ошибки d есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

Случайная величина Х распределена нормально и её среднее  квадратичное отклонение d известно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки 

Метод Монте-Карло и его применение, (*)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором Метод Монте-Карло и его применение, s - известное среднее квадратичное отклонение Х.

Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение s неизвестно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки 

Метод Монте-Карло и его применение, (**)

где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение, Метод Монте-Карло и его применение находят по таблице приложения 3.

Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение s случайной величины Х известно; если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при Метод Монте-Карло и его применение распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.

Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло.

§1. Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода.

Пусть необходимо вычислить линейный функционал Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение, причём для интегрального оператора K с ядром Метод Монте-Карло и его применение выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда Неймана: Метод Монте-Карло и его применение. Цепь Маркова Метод Монте-Карло и его применение определяется начальной плотностью Метод Монте-Карло и его применение и переходной плотностью Метод Монте-Карло и его применение; вероятность обрыва цепи в точке Метод Монте-Карло и его применение равна Метод Монте-Карло и его применение. N – случайный номер последнего состояния. Далее определяется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно Метод Монте-Карло и его применение. Чаще всего используется так называемая оценка по столкновениям Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение. Если Метод Монте-Карло и его применение при Метод Монте-Карло и его применение, и Метод Монте-Карло и его применение при Метод Монте-Карло и его применение, то при некотором дополнительном условии Метод Монте-Карло и его применение. Важность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение: если Метод Монте-Карло и его применение и Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение, то Метод Монте-Карло и его применение, а Метод Монте-Карло и его применение. Моделируя подходящую цепь Маркова на ЭВМ, получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения второго рода. Это даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления: Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение. Методом Монте-Карло оценка первого собственного значения интегрального оператора осуществляется интерациональным методом на основе соотношения Метод Монте-Карло и его применение. Все рассмотренные результаты почти автоматически распространяются на системы линейных алгебраических уравнений вида Метод Монте-Карло и его применение. Решение дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотношений.

§2. Способ усреднения подынтегральной функции.

В качестве оценки определённого интеграла Метод Монте-Карло и его применение принимают 

Метод Монте-Карло и его применение,

где n – число испытаний; Метод Монте-Карло и его применение - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования Метод Монте-Карло и его применение, их разыгрывают по формуле Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение - случайное число.

Дисперсия усредняемой функции Метод Монте-Карло и его применение равна

Метод Монте-Карло и его применение,

где Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение. Если точное значение дисперсии вычислить трудно или невозможно, то находят выборочную дисперсию (при n>30) Метод Монте-Карло и его применение, или исправленную дисперсию (при n<30) Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение.

Эти формулы для вычисления дисперсии применяют и при других способах интегрирования, когда усредняемая функция не совпадает с подынтегральной функцией.

В качестве оценки интеграла Метод Монте-Карло и его применение, где область интегрирования D принадлежит единичному квадрату Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение, принимают 

Метод Монте-Карло и его применение, (*)

где S – площадь области интегрирования; N – число случайных точек Метод Монте-Карло и его применение, принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить площадь S трудно, то в качестве её оценки можно принять Метод Монте-Карло и его применение; в этом случае формула (*) имеет вид

Метод Монте-Карло и его применение ,

где n – число испытаний.

В качестве оценки интеграла Метод Монте-Карло и его применение, где область интегрирования V принадлежит единичному кубу Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение, принимают Метод Монте-Карло и его применение, где V – объём области интегрирования, N – число случайных точек Метод Монте-Карло и его применение, принадлежащих области интегрирования.

Если вычислить объём трудно, то в качестве его оценки можно принять Метод Монте-Карло и его применение, в этом случае формула (**) имеет вид Метод Монте-Карло и его применение, где n – число испытаний.

Задача: найти оценку Метод Монте-Карло и его применениеопределённого интеграла Метод Монте-Карло и его применение.

Решение. Используем формулу Метод Монте-Карло и его применение. По условию, a=1, b=3, Метод Монте-Карло и его применение. Примем для простоты число испытаний n=10.Тогда оценка Метод Монте-Карло и его применение, где возможные значения Метод Монте-Карло и его применение разыгрывается по формуле Метод Монте-Карло и его применение.

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 1.

Случайные числа Метод Монте-Карло и его применение взяты из таблицы приложения.

Таблица 1.

Номер i

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,100

0,973

0,253

0,376

0,520

0,135

0,863

0,467

0,354

0,876

1,200

2,946

1,506

1,752

2,040

1,270

2,726

1,934

1,708

2,752

2,200

3,946

2,506

2,752

3,040

2,270

3,726

2,934

2,708

3,752

Из таблицы 1 находим Метод Монте-Карло и его применение. Искомая оценка

Метод Монте-Карло и его применение

§3. Способ существенной выборки, использующий «вспомогательную плотность распределения».

В качестве оценки интеграла Метод Монте-Карло и его применение принимают Метод Монте-Карло и его применение, где n – число испытаний; f(x) – плотность распределения «вспомогательной» случайной величины X, причём Метод Монте-Карло и его применение; Метод Монте-Карло и его применение - возможные значения X, которые разыгрывают по формуле Метод Монте-Карло и его применение.

Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношение Метод Монте-Карло и его применение при различных значениях x изменялось незначительно. В частности, если Метод Монте-Карло и его применение, то получим оценку Метод Монте-Карло и его применение.

Задача. Найти оценку Метод Монте-Карло и его применение интеграла Метод Монте-Карло и его применение.

Решение. Так как Метод Монте-Карло и его применение, то в качестве плотности распределения «вспомогательной» случайной величины X примем функцию Метод Монте-Карло и его применение. Из условия Метод Монте-Карло и его применение найдём Метод Монте-Карло и его применение. Итак, Метод Монте-Карло и его применение.

Запишем искомый интеграл так:

Метод Монте-Карло и его применение.

Таким образом, интеграл I представлен в виде математического ожидания функции Метод Монте-Карло и его применение. В качестве искомой оценки примем выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):

Метод Монте-Карло и его применение,

где Метод Монте-Карло и его применение - возможные значения X, которые надо разыграть по известной плотности Метод Монте-Карло и его применение. По правилу (для того, чтобы разыграть возможное значение Метод Монте-Карло и его применение непрерывной случайной величины X, зная её плотность вероятности f(x), надо выбрать случайное число Метод Монте-Карло и его применение и решить относительно Метод Монте-Карло и его применение уравнение 

Метод Монте-Карло и его применение, или уравнение Метод Монте-Карло и его применение,

где a – наименьшее конечно возможное значение X), имеем Метод Монте-Карло и его применение. Отсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных значений X: 

Метод Монте-Карло и его применение.

В таблице 2 приведены результаты 10 испытаний.

Сложив числа последней строки таблицы 2, получим Метод Монте-Карло и его применение. Искомая оценка равна Метод Монте-Карло и его применение

Таблица 2.

Номер i

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,100

0,973

0,253

0,376

0,520

0,135

0,863

0,467

0,354

0,876

0,140

0,980

0,326

0,459

0,600

0,185

0,894

0,550

0,436

0,905

1,150

2,664

1,385

1,582

1,822

1,203

2,445

1,733

1,546

2,472

1,140

1,980

1,326

1,459

1,600

1,185

1,894

1,550

1,436

1,905

1,009

1,345

1,044

1,084

1,139

1,015

1,291

1,118

1,077

1,298

§4. Способ, основанный на истолковании интеграла как площади.

Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: Метод Монте-Карло и его применение, а двумерная случайная величина Метод Монте-Карло и его применение распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием Метод Монте-Карло и его применение и высотой Метод Монте-Карло и его применение. Тогда двумерная плотность вероятности Метод Монте-Карло и его применение для точек, принадлежащих D; Метод Монте-Карло и его применение вне D.

В качестве оценки интеграла Метод Монте-Карло и его применение принимают Метод Монте-Карло и его применение, где n – общее число случайных точек Метод Монте-Карло и его применение, принадлежащих D; Метод Монте-Карло и его применение - число случайных точек, которые расположены под кривой Метод Монте-Карло и его применение.

Задача. Найти оценку Метод Монте-Карло и его применение интеграла Метод Монте-Карло и его применение.

Решение. Используем формулу Метод Монте-Карло и его применение.

В интервале (0,2) подынтегральная функция Метод Монте-Карло и его применение неотрицательна и ограничена, причём Метод Монте-Карло и его применение; следовательно, можно принять c=4.

Введём в рассмотрение двумерную случайную величину (X,Y), распределённую равномерно в прямоугольнике D с основанием Метод Монте-Карло и его применение и высотой с=4, плотность вероятности которой Метод Монте-Карло и его применение.

Разыгрываем n=10 случайных точек Метод Монте-Карло и его применение, принадлежащих прямоугольнику D. Учитывая, что составляющая X в интервале (0,2) распределена равномерно с плотностью Метод Монте-Карло и его применение и составляющая Y в интервале (0,4) распределена равномерно с плотностью Метод Монте-Карло и его применение, разыграем координаты случайной точки Метод Монте-Карло и его применение, принадлежащей прямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел Метод Монте-Карло и его применение: Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение.Отсюда Метод Монте-Карло и его применение, Метод Монте-Карло и его применение.

Номер i

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,100

0,253

0,520

0,863

0,354

0,809

0,911

0,542

0,056

0,474

0,200

0,506

1,040

1,726

0,708

1,618

1,822

1,084

0,112

0,948

0,040

0,256

1,082

2,979

0,501

2,618

3,320

1,175

0,013

0,899

3,960

3,744

2,918

1,021

3,499

1,382

0,680

2,825

3,987

3,101

0,973

0,376

,135

0,467

0,876

0,590

0,737

0,048

0,489

0,296

3,892

1,504

0,540

1,868

3,504

2,360

2,948

0,192

1,956

1,184

1

1

1

1

1

1

Если окажется, что Метод Монте-Карло и его применение, то точка Метод Монте-Карло и его применение лежит под кривой Метод Монте-Карло и его применение и в «счётчик Метод Монте-Карло и его применение» надо добавить единицу.

Результаты десяти испытаний приведены в таблице 3.

Из таблицы 3 находим Метод Монте-Карло и его применение. Искомая оценка интеграла 

Метод Монте-Карло и его применение

§5. Способ «выделения главной части».

В качестве оценки интеграла Метод Монте-Карло и его применение принимают 

Метод Монте-Карло и его применение,

где Метод Монте-Карло и его применение - возможные значения случайной величины X, распределённой равномерно в интервале интегрирования Метод Монте-Карло и его применение, которые разыгрывают по формуле Метод Монте-Карло и его применение; функция Метод Монте-Карло и его применение, причём интеграл Метод Монте-Карло и его применение можно вычислить обычными методами.

Задача. Найти оценку Метод Монте-Карло и его применение интеграла Метод Монте-Карло и его применение.

Решение. Так как Метод Монте-Карло и его применение Метод Монте-Карло и его применение, то примем Метод Монте-Карло и его применение. Тогда, полагая число испытаний n=10, имеем оценку 

Метод Монте-Карло и его применение.

Выполнив элементарные преобразования, получим

Метод Монте-Карло и его применение.

Учитывая, что a=0, b=1, возможные значения Метод Монте-Карло и его применение разыграем по формуле Метод Монте-Карло и его применение. Результаты вычислений приведены в таблице 4.

Номер i

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

Метод Монте-Карло и его применение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,100

0,973

0,253

0,376

0,520

0,135

0,863

0,467

0,354

0,876

0,010

0,947

0,064

0,141

0,270

0,018

0,745

0,218

0,125

0,767

1,010

1,947

1,064

1,141

1,270

1,018

1,745

1,218

1,125

1,767

1,005

1,395

1,032

1,068

1,127

1,009

1,321

1,104

1,061

1,329

2,000

1,843

2,000

1,995

1,984

2,000

1,897

1,990

1,997

1,891

Сложив числа последнего столбца таблицы 4, найдём сумму 19,597, подставив которую в соотношение Метод Монте-Карло и его применение, получим искомую оценку интеграла

Метод Монте-Карло и его применение.

Заметим, что точное значение I=1,147.

§6. Программа вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло. 

Вычислить определенный интеграл Метод Монте-Карло и его применениепо методу “Монте-Карло” по формуле 

Метод Монте-Карло и его применение,

где n – число испытаний ;g(x) – плотность распределения “вспомогательной” случайной величины X, причем Метод Монте-Карло и его применение, в программе g(x) = 1/(b-a) 

Программа написана на языке TURBO PASCAL 7.0

Program pmk;

Uses crt;

Var k,p,s,g,x,Integral : real;

n,i,a,b : integer;

BEGIN

writeln(‘Введите промежуток интегрирования (a;b):’);

readln(a);

readln(b);

writeln(‘Введите количество случайных значений(число испытаний):’);

readln(n);

k:=b-a; {Переменной“k”присвоим значение длины промежутка интегрирования}

writeln(‘k=’,k);

for i:= 1 to n do begin {проведем n испытаний}

g:=random; {g – переменная вещественного типа, случайная величина из промежутка [0;1]}

x:= a + g*(b-a); {По этой формуле получается произвольная величина из [a; b] }

s:=s + (1+x); {s:=s +(x*x)} {Вообще можно подставить любую функцию}

delay(1000); {задержка, чтобы произвольные значения не повторялись}

end; {конец испытаний}

writeln(‘s=’,s); {Сумма функции для n произвольных значений}

Integral:=(1/n)*k*s ;

writeln(‘Интеграл=’,Integral);

readln;

END.

Требуется ввести промежуток интегрирования и количество испытаний, интегрируемая функция уже задана в программе (но ее можно поменять).

Метод Монте-Карло и его применение; Метод Монте-Карло и его применение.

Функция k N=10 N=100 N=500 N=1000
f(x)=1+x 2 5.737 5.9702 6.02 5.99
f(x)=x*x 3 9.6775 8.528 8.7463 8.937

§7. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

Пусть функция Метод Монте-Карло и его применениенепрерывна в ограниченной замкнутой области S и требуется вычислить m-кратный интеграл 

Метод Монте-Карло и его применениеМетод Монте-Карло и его применение. (1)

Геометрически число I представляет собой (m+1)-мерный объём прямого цилиндроида в пространстве Метод Монте-Карло и его применение, построенного на основании S и ограниченного сверху данной поверхностью Метод Монте-Карло и его применение, где Метод Монте-Карло и его применение.

Преобразуем интеграл (1) так, чтобы новая область интегрирования целиком содержалась внутри единичного m-мерного куба. Пусть область S расположена в m-мерном параллелепипеде 

Метод Монте-Карло и его применение. (2)

Сделаем замену переменных Метод Монте-Карло и его применение. (3)

Тогда, очевидно, m-мерный параллелепипед (2) преобразуется в m-мерный единичный куб Метод Монте-Карло и его применение Метод Монте-Карло и его применение (4)

и, следовательно, новая область интегрирования σ, которая находится по обычным правилам, будет целиком расположена внутри этого куба.

Вычисляя якобиан преобразования, будем иметь:

Метод Монте-Карло и его применение. Таким образом, Метод Монте-Карло и его применениеМетод Монте-Карло и его применение, (5)

где Метод Монте-Карло и его применение. Введя обозначения Метод Монте-Карло и его применение и Метод Монте-Карло и его применение, запишем интеграл (5) короче в следующем виде: Метод Монте-Карло и его применениеМетод Монте-Карло и его применение. (5/)

Укажем способ вычисления интеграла (5/) методом случайных испытаний.

Выбираем m равномерно распределённых на отрезке [0, 1] последовательностей случайных чисел:

Метод Монте-Карло и его применение 

Точки Метод Монте-Карло и его применениеможно рассматривать как случайные. Выбрав достаточно большое N число точек Метод Монте-Карло и его применение, проверяем, какие из них принадлежат области σ (первая категория) и какие не принадлежат ей (вторая категория). Пусть

1. Метод Монте-Карло и его применение при i=1, 2, …, n (6)

2. Метод Монте-Карло и его применение при i=n+1, n+2, …,N (6/)

(для удобства мы здесь изменяем нумерацию точек).

Заметим, что относительно границы Г области σ следует заранее договориться, причисляются ли граничные точки или часть их к области σ, или не причисляются к ней. В общем случае при гладкой границе Г это не имеет существенного значения; в отдельных случаях нужно решать вопрос с учётом конкретной обстановки.

Взяв достаточно большое число n точек Метод Монте-Карло и его применение, приближённо можно положить: Метод Монте-Карло и его применение; отсюда искомый интеграл выражается формулой Метод Монте-Карло и его применение, где под σ понимается m-мерный объём области интегрирования σ. Если вычисление объёма σ затруднительно, то можно принять: Метод Монте-Карло и его применение, отсюда Метод Монте-Карло и его применение. В частном случае, когда σ есть единичный куб, проверка становится излишней, то есть n=N и мы имеем просто Метод Монте-Карло и его применение.

Заключение.

Метод Монте-Карло используется очень часто, порой некритично и неэффективным образом. Он имеет некоторые очевидные преимущества:

а) Он не требует никаких предложений о регулярности, за исключением квадратичной интегрируемости . Это может быть полезным, так как часто очень сложная функция, чьи свойства регулярности трудно установить.

б) Он приводит к выполнимой процедуре даже в многомерном случае, когда численное интегрирование неприменимо, например, при числе измерений, большим 10.

в) Его легко применять при малых ограничениях или без предварительного анализа задачи.

Он обладает, однако, некоторыми недостатками, а именно:

а) Границы ошибки не определены точно, но включают некую случайность. Это, однако, более психологическая, чем реальная, трудность.

б) Статическая погрешность убывает медленно.

в) Необходимость иметь случайные числа.

Приложение.

Равномерно распределённые случайные числа

10 09 73 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 76 80 95 90 9117

37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02

08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 47 64

99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 67 43 97

12 80 79 99 70 80 15 73 61 47 64 03 23 66 53 98 95 11 68 77

66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85

31 06 01 08 05 45 57 18 24 06 35 30 34 26 14 86 79 90 74 39

85 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 66 57 48 18 73 05 38 52 47

63 57 33 21 35 05 32 54 70 48 90 55 35 75 48 28 46 82 87 09

73 79 64 57 53 03 52 96 47 78 35 80 83 42 82 60 93 52 03 44

Список литературы

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. И доп. – М.: Высш. школа, 1979г.

Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971г.

Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.:Наука,1982г.

Математика. Большой энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Большая Российская энциклопедия,1999г.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.


©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru