Реферат: Комплексные числа

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

1.ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A· X+B=0 (AКомплексные числа0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения X2=2, X3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой вид должны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B· i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название “комплексное” происходит от слова “составное”: по виду выражения A+B· i.

Комплексными числами называют выражения вида A+B· i, где A и B –действительные числа, а i – некоторый символ, такой что i2= –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+B· i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная часть комплексного числа 2+3· i равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексного числа нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+B· i и C+D· i называются равными тогда и только тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительные и мнимые части.

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Комплексные числа

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B· i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число Z=A+B· i изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z (рисунок 1). Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Комплексные числа

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+B· i как вектора, т.е. вектора с началом в точке

O(0;0) и с концом в точке М(A;B) (рисунок 2).

Соответствие установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.

3.МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Пусть дано комплексное число Z=A+B· i. Сопряженным с Z называется комплексное число A – B· i, которое обозначается Комплексные числа, т.е.

Комплексные числа=Комплексные числа=A – B· i.

Отметим, что Комплексные числа= A+B· i, поэтому для любого комплексного числа Z имеет место равенство Комплексные числа=Z.

Модулем комплексного числа Z=A+B· i называется число Комплексные числа и обозначается Комплексные числа, т.е.

Комплексные числа=Комплексные числа=Комплексные числа (1)

Из формулы (1) следует, что Комплексные числа для любого комплексного числа Z, причем Комплексные числа=0 тогда и только тогда, когда Z=0, т.е. когда A=0 и B=0. Докажем, что для любого комплексного числа Z справедливы формулы:

Комплексные числа

4.СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Суммой двух комплексных чисел A+B· i и C+D· i называется комплексное число (A+C) + (B+D)· i, т.е.(A+B· i) + (C+D· i)=(A+C) + (B+D)· i

Произведением двух комплексных чисел A+B· i и C+D· i называется комплексное число (A· C – B· D)+(A· D+B· C) · i, т.е.

(A + B· i)· (C + D· i)=(A· C – B· D) + (A· D + B· C)· i

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1· Z2=Z2· Z1

Сочетательное свойство:

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1· Z2)· Z3=Z1· (Z2· Z3)

Распределительное свойство:

Z1· (Z2+Z3)=Z1· Z2+Z1· Z3

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Комплексные числа

Согласно определению сложения двух комплексных чисел, действительная часть суммы равна сумме действительных частей слагаемых, мнимая часть суммы равна сумме мнимых частей слагаемых. Точно также определяются координаты суммы векторов:

Сумма двух векторов с координатами (A1;B1) и (A2;B2) есть вектор с координатами (A1+A2;B1+B2). Поэтому, чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 и Z2 нужно сложить векторы, соответствующие комплексным числам Z1 и Z2.

Пример 1: Найти сумму и произведение комплексных чисел Z1=2 – 3Ч i и

1 Способ:

Z2= –7 + 8Ч i.

Z1 + Z2 = 2 – 7 + (–3 + 8)Ч i = –5 + 5Ч i

Z1Ч Z2 = (2 – 3Ч i)Ч (–7 + 8Ч i) = –14 + 16Ч i + 21Ч i + 24 = 10 + 37Ч i

2 Способ:

Комплексные числа 5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:

Z + Z2=Z1

Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:

Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда

Z = Z1 – Z2

Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2.

Деление вводится как операция, обратная умножению:

ZЧ Z2=Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

Z=Комплексные числа

Из этого уравнения видно, что Z2Комплексные числа0

Комплексные числа

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Разности Z2– Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль Комплексные числа разности двух комплексных чисел Z2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2– Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.

Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5· i и Z2= 3 + 4· i. Найти разность Z2 – Z1 и частное Комплексные числа

Z2 – Z1 = (3 + 4· i) – (4 + 5· i) = –1 – i

Комплексные числа=Комплексные числа=Комплексные числа

6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Комплексные числа

Запись комплексного числа Z в виде A+B· i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.

Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B· i выражаются через его модуль Комплексные числа= r и аргумент j следующим образом:

A= r· cosj ; B= r· sinj .

Число Z можно записать так:

Z= r· cosj +Комплексные числа· sinj = r· (cosj +sinj )

Z = r· (cosj +sinj ) (2)

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.

r =Комплексные числа– модуль комплексного числа.

Число j называют аргументом комплексного числа.

Аргументом комплексного числа ZКомплексные числа0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.

Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.

Как уже говорилось выше Комплексные числа= r =Комплексные числа, равенство (2) можно записать в виде

A+B· i=Комплексные числа· cosj + i· Комплексные числа· sinj , откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:

cosj =Комплексные числа, sinj =Комплексные числа (3)

Если sinj поделить на cosj получим:

tgj =Комплексные числа (4)

Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j , чем формулы (3). Однако не все значения j , удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B· i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B· i.

7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.

Пусть Z1= r1· (cosj 1 + i· sinj 1), Z2 = r2· (cosj 2 + i· sinj 2). Тогда:

Z1Z2= r1· r2[cosj 1· cosj 2 – sinj 1· sinj 2 + i· ( sinj 1· cosj 2 + cosj 1· sinj 2)]=

= r1· r2[cos(j 1 + j 2) + i· sin(j 1 + j 2)].

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z1Z2= r1· r2[cos(j 1 + j 2) + i· sin(j 1 + j 2)] (5)

Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если Z1=Z2 то получим:

Z2=[r· (cosj + i· sinj )]2= r2· (cos2j + i· sin2j )

Z3=Z2· Z= r2· (cos2j + i· sin2j )· r· (cosj + i· sinj )=

= r3· (cos3j + i· sin3j )

Вообще для любого комплексного числа Z= r· ( cosj + i· sinj )Комплексные числа0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Zn =[ r· (cosj + i· sinj )]n= rn· ( cosnj + i· sinnj ), (6)

которую называют формулой Муавра.

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Комплексные числаКомплексные числаКомплексные числа[ cos(j 1 – j 2) + i· sin(j 1 – j 2)]. (7)

Комплексные числа= Комплексные числа= cos(–j 2) + i· sin(–j 2)

Используя формулу 5

Комплексные числа(cosj 1 + i· sinj 1)Ч ( cos(–j 2) + i· sin(–j 2)) =

cos(j 1 – j 2) + i· sin(j 1 – j 2).

Пример 3:

Z3 = –8

Число –8 запишем в тригонометрической форме

8 = 8· ( cos(p + 2p k ) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Пусть Z = rЧ (cosj + iЧ sinj ), тогда данное уравнение запишется в виде:

r3Ч (cos3j + iЧ sin3j ) = 8· ( cos(p + 2p k ) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Тогда 3j =p + 2p k , k О Z

j = Комплексные числа, k О Z

r3 = 8

r = 2

Следовательно:

Z = 2· ( cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа)), k О Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = 2· ( cosКомплексные числа + i·sinКомплексные числа) = 2· (Комплексные числаi) = 1+Комплексные числаЧ i

k = 1

Z2 = 2· ( cos(Комплексные числа + Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа + Комплексные числа)) = 2· ( cosp + i·sinp ) = –2

k = 2

Z3 = 2· ( cos(Комплексные числа + Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа + Комплексные числа)) = 2· ( cosКомплексные числа + i·sinКомплексные числа) = 1–Комплексные числаЧ i

Ответ: Z13 = Комплексные числа; Z2 = –2

Пример 4:

Z4 = 1

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1· ( cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

Пусть Z = rЧ (cosj + iЧ sinj ), тогда данное уравнение запишется в виде:

r4Ч (cos4j + iЧ sin4j ) = cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

4j = 2p k , k О Z

j = Комплексные числа, k О Z

r4 = 1

r = 1

Z = cos Комплексные числа+ sinКомплексные числа

k = 0,1,2,3...

k = 0

Z1 = cos0+ sin0 = 1 + 0 = 1

k = 1

Z2 = cos Комплексные числа+ sinКомплексные числа = 0 + i = i

k = 2

Z3 = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

k = 3

Z4 = cos Комплексные числа+ sinКомплексные числа

Ответ: Z13 = Комплексные числа1

Z24 = Комплексные числа i

8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ

Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r· ( cosj + sinj ) в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

[ r· (cosj + sinj )]n= rn· ( cos nj + sin nj )

Число Z называется корнем степени n из числа w ( обозначается Комплексные числа), если Zn =w .

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn = w является корнем степени n из числа w . Другими словами, для того, чтобы извлечь корень степени n из числа w , достаточно решить уравнение Zn = w . Если w =0, то при любом n уравнение Zn = w имеет только одно решение Z= 0. Если w Комплексные числа0, то и ZКомплексные числа0, а, следовательно, и Z и w можно представить в тригонометрической форме

Z = r· (cosj + sinj ), w = p· (cosy + siny )

Уравнение Zn = w примет вид:

rn· ( cos nj + sin nj ) = p· ( cosy +siny )

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2p . Следовательно, rn = p и nj = y + 2p k, где kО Z или r = Комплексные числа и j = Комплексные числа, где kО Z .

Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:

ZK=Комплексные числа[cos(Комплексные числа) + sin(Комплексные числа)], kО Z (8)

Формулу 8 называют второй формулой Муавра.

Таким образом, если w Комплексные числа0, то существует ровно n корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль Комплексные числа, но разные аргументы, отличающиеся слагаемым, кратным числу Комплексные числа. Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из комплексного числа w , соответствует точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса Комплексные числа с центром в точке Z = 0.

Символ Комплексные числа не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается. Например, используя запись Комплексные числа, следует подумать о том, чтобы было ясно, понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то какое именно.

Уравнения высших степеней

Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n. Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения степени n:

anЧ Zn + an–1Ч Zn–1 +...+ a1Ч Z1 + a0 = 0 (9)

Где an,..., a0 – заданные комплексные числа.

В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом Гауссом в 1779 году.

Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9 всегда может быть представлена в виде произведения:

Комплексные числа,

Где Z1, Z2,..., ZK– некоторые различные комплексные числа,

а a1,a2,...,ak – натуральные числа, причем:

a1 + a2 + ... + ak = n

Отсюда следует, что числа Z1, Z2,..., ZK являются корнями уравнения 9. При этом говорят, что Z1 является корнем кратности a1, Z2 – корнем кратности a2 и так далее.

Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.

Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.

Докажем эту теорему:

Пусть Z = k – целый корень уравнения

anЧ Zn + an–1Ч Zn–1 +...+ a1Ч Z1 + a0 = 0

с целыми коэффициентами. Тогда

anЧ kn + an–1Ч kn–1 +...+ a1Ч k1 + a0 = 0

a0 = – k(anЧ kn–1 + an–1Ч kn–2 +...+ a1)

Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит k – делитель числа a0.

9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число, Z – неизвестное.

Это уравнение:

имеет один корень, если a = 0. имеет два действительных корня Z1,2=Комплексные числа, если a > 0. не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня.

Запишем число a в виде a = (– 1)Ч (– a) = iКомплексные числа= i2Ч (Комплексные числа)2. Тогда уравнение Z2 = a запишется в виде: Z2 – i2Ч (Комплексные числа)2 = 0

т.е. (Z – Комплексные числа)(Z + Комплексные числа) = 0

Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = Комплексные числаКомплексные числа

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

aЧ Z2 + bЧ Z + c = 0

По известной общей формуле

Z1,2=Комплексные числа (10)

Итак, при любых действительных a(aКомплексные числа0), b, c корни уравнения можно находить по формуле 10. При это если дискриминант, т.е. подкоренное выражение в формуле 10

D = b2 – 4Ч aЧ c

положителен , то уравнение aЧ Z2 + bЧ Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение aЧ Z2 + bЧ Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение aЧ Z2 + bЧ Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.

Сформулируем основные из них:

Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения aЧ Z2 + bЧ Z + c = 0, aКомплексные числа0. Тогда справедливы свойства:

Теорема Виета: Z1 + Z2 = –Комплексные числа

Z1Ч Z2 = Комплексные числа

При всех комплексных Z справедлива формула

aЧ Z2 + bЧ Z + c = aЧ (Z – Z1)Ч (Z – Z2)

Пример 5:

Z2 – 6·Z + 10 = 0

Д = b2 – 4·a·c

Д = 62 – 4·10 = – 4

– 4 = i2·4

Z1,2 = Комплексные числа

Z1,2 =Комплексные числа

Ответ: Z1 = Z2 = 3 + i

Пример 6:

3·Z2 +2·Z + 1 = 0

Д = b2 – 4·a·c

Д = 4 – 12 = – 8

Д = –1·8 = 8·i2

Z1,2 = Комплексные числа = Комплексные числа

Z1,2 =Комплексные числа

Z1 = – (Комплексные числа)

Z2 = –Комплексные числа

Ответ: Z1 = Z2 = –Комплексные числа

Пример 7:

Z4 – 8·Z2 – 9 = 0

Z2 = t

t2 – 8·t – 9 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100

t1,2 = Комплексные числа= Комплексные числа= 4Комплексные числа

t1 = 9 t2 = – 1

Z2 = 9 Z2 = – 1

Z1,2 =Комплексные числа3 Z = Комплексные числа

Z3,4 =Комплексные числаi

Ответ: Z1,2 =Комплексные числа3, Z3,4 =Комплексные числаi

Пример 8:

Z4 + 2·Z2 – 15 = 0

Z2 = t

t2 + 2·t – 15 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64

t1,2 = Комплексные числа= Комплексные числа= –1Комплексные числа4

t1 = – 5 t2 = 3

Z2 = – 5 Z2 = 3

Z2 = – 1·5 Z3,4 =Комплексные числаКомплексные числа

Z2 = i2·5

Z1,2 =Комплексные числаiКомплексные числа

Ответ: Z1,2 =Комплексные числаiКомплексные числа, Z3,4 =Комплексные числаКомплексные числа

Пример 9:

Z2 = 24 – 10· i

Пусть Z = X + Y· i

(X + Y· i)2 = X2 + 2· X· Y· i – Y2

X2 + 2· X· Y· i – Y2 = 24 – 10· i

(X2 – Y2) + 2· X· Y· i = 24 – 10· i

Y = – Комплексные числа

X2 – Комплексные числа= 24

Комплексные числа умножим на X2 Комплексные числа0

X4 – 24· X2 – 25 = 0

X2 = t

t2 – 24· t – 25 = 0

t1· t2 = – 25

t1 + t2 = 24

t1 = 25 t2 = – 1

X2 = 25 X2 = – 1 — нет решений

X1,2 = Комплексные числа5

X1 = 5 X2 = – 5

Y1 = – Комплексные числа Y2 = Комплексные числа

Y1 = – 1 Y2 = 1

Тогда:

Z1,2 =Комплексные числа(5 – i)

Ответ: Z1,2 =Комплексные числа(5 – i)

ЗАДАЧИ:

1)

( 2 – Y)2 + 3·( 2 – Y)·Y + Y2 = 6

4 – 4·Y + Y2 + 6·Y – 3·Y2 + Y2 = 6

–Y2 + 2Y – 2 = 0 /–1

Y2 – 2Y + 2 = 0

Д = b2 – 4·a·c = 4 – 8 = – 4

– 4 = – 1·4 = 4· i2

Y1,2 = Комплексные числа = Комплексные числа = 1Комплексные числа i

Y1 = 1– i Y2 = 1 + i

X1 = 1 + i X2 = 1– i

Ответ: {1 + i ; 1– i}

{1– i ; 1 + i}

2)

— Возведем в квадрат

— Возведем в куб

w 10Ч Комплексные числа12 = 1

w 10Ч Комплексные числа10 Ч Комплексные числа2 = 1

(w Ч Комплексные числа)10Ч Комплексные числа2 = 1

(Комплексные числа)10Ч Комплексные числа2 = 1

т.к. w = A + BЧ i

Комплексные числа = A – BЧ i

w Ч Комплексные числа = (A + BЧ i)·( A – BЧ i) = A2 – (BЧ i)2 = A2 + B2 = Комплексные числа2 = w Ч Комплексные числа

т.е. Комплексные числа20·Комплексные числа2 = 1

Возьмем модуль от обоих частей последнего уравнения:

Комплексные числа20·Комплексные числа2 = 1

Комплексные числа22 = 1

т.е.

Комплексные числа = 1

Тогда из уравнения получим

Комплексные числа2 = 1

т.е.

Комплексные числа = +-1

w 1 = 1 w 2 = –1

Подставим эти значения в первое уравнение данной системы и найдем численное значение Z

1) w 1 = 1

Z6 = 1

1 = 1· ( cos(2p k ) + i·sin(2p k )), k О Z

Z = rЧ (cosj + sinj )

r6Ч (cos6j + sin6j ) = cos(2p k ) + i·sin(2p k ), k О Z

r6 = 1 6j = 2p k

r = 1 j = Комплексные числа, k О Z

Z = cosКомплексные числа+ i·sinКомплексные числа, k О Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = cos0+ sin0 = 1 + 0 = 1

Z1 = 1

k = 1

Z2 = cosКомплексные числа + i·sinКомплексные числа = Комплексные числаi = Комплексные числаi

Z2 =Комплексные числаi

k = 2

Z3 = cosКомплексные числа+ i·sinКомплексные числа = –Комплексные числаi

Z3 = –Комплексные числаi

k = 3

Z4 = cosp + i·sinp = –1 + 0 = –1

Z4 = –1

k = 4

Z5 = cosКомплексные числа + i·sinКомплексные числа = –Комплексные числаi

Z5 = –Комплексные числаi

k = 5

Z6 = cosКомплексные числа + i·sinКомплексные числа = Комплексные числаi

Z6 = Комплексные числаi

Ответ: Z1 = 1, Z2 =Комплексные числаi, Z3 = –Комплексные числаi, Z4 = –1, Z5 = –Комплексные числаi, Z6 = Комплексные числаi

2) w 2 = –1

Z6 = –1

–1 = 1· ( cos(p + 2p k ) + i·sin(p + 2p k )), k О Z

Пусть Z = rЧ (cosj + sinj ), тогда данное уравнение запишется в виде:

r6Ч (cos6j + sin6j ) = cos(p + 2p k ) + i·sin(p + 2p k ), k О Z

r6 = 1 6j = p + 2p k

r = 1 j = Комплексные числа, k О Z

Z = cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа), k О Z

k = 0,1,2...

k = 0

Z1 = cosКомплексные числа + i·sinКомплексные числа = Комплексные числаi

Z1 =Комплексные числаi

k = 1

Z2 = cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа) = 0 + i = i

Z2 = i

k = 2

Z3 = cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа) = –Комплексные числаi

Z3 = –Комплексные числаi

k = 3

Z4 = cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа) = –Комплексные числаi

Z4 = –Комплексные числаi

k = 4

Z5 = cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа) = 0 – i = – i

Z5 = – i

k = 5

Z6 = cos(Комплексные числа) + i·sin(Комплексные числа) = Комплексные числаi

Z6 =Комплексные числаi

Ответ: Z1 =Комплексные числаi , Z2 = i, Z3 = –Комплексные числаi , Z4 = –Комплексные числаi, Z5 = – i, Z6 =Комплексные числаi

3)

Доказать, что сумма двух комплексных чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.

1 СПОСОБ:

Пусть Z1=X+YЧ i и Z2=U+VЧ i

Доказать что:

Комплексные числа

Комплексные числа

Предположим противоположное:

Комплексные числа> Комплексные числа / т.к. корень существует только из неотрицательного числа, то можно возвести в квадрат обе части неравенства.

X2+2· X· U+U2+Y2+2· Y· V+V2 > X2+Y2+U2+V2+2· Комплексные числа

2· (X· U+Y· V) > 2· Комплексные числа

Если мы предположили верно, то X· U+Y· V > 0, а поэтому возведем в квадрат:

X2· U2+2· XU· Y· V+Y2· V2 > X2· U2 + X2· V2+Y2· U2+Y2· V2

2· X· Y· V· U > X2· V2+Y2· U2

X2· V2+Y2· U2 – 2· X· Y· V· U < 0

(X· V + Y· U)2 < 0

Это невозможно, т.к. A2 Комплексные числа 0, значит полученное нами неравенство неверно.

Комплексные числа

что и требовалось доказать

2 СПОСОБ:

 

Комплексные числа

Пусть Z1 и Z2– два произвольных комплексных числа. Z1– соответствует точке A, Z2– соответствует точке B.

В силу неравенства треугольника

Комплексные числа т.е.

Комплексные числа

Что и требовалось доказать.


©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru