Реферат: Неопределенные бинарные квадратичные формы

Введение

Основоположником теории квадратичных форм является французский математик Лагранж. Им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта.

Начинается арифметическая теория квадратичных форм с утверждения Ферма о существовании простых чисел Неопределенные бинарные квадратичные формы суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм продолжала развиваться. Гаусс также вводит много новых понятий. Гауссу сумел получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел.

В данной работе исследуются предварительные общие сведения о бинарных квадратичных формах. Приведено элементарное доказательство известной оценки для числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Здесь рассмотрены периоды неопределенных квадратичных форм, также решены два вопроса о двусторонних формах. Также приведены доказательства, что диагональные формы одного и того же положительного дискриминанта не эквивалентны.

Предварительные сведения о бинарных квадратичных форм

Определим общие понятия и свойства, которые прямым образом касаются бинарных квадратичных форм.

Однородный многочлен второй степени от двух переменных называется бинарной квадратичной формой:

Неопределенные бинарные квадратичные формы (1)

где Неопределенные бинарные квадратичные формы —вещественные числа.

Соответственно используемые коэффициенты в данной формуле Неопределенные бинарные квадратичные формы — являются первым, вторым и третьим коэффициентами .

Для наглядности эту формулу будем обозначать через Неопределенные бинарные квадратичные формы, получим:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

В теории форм над кольцами и в первую очередь над кольцом Неопределенные бинарные квадратичные формы целых чисел более предпочтительной является запись вида (1).

В теории квадратичных форм над полями приведены формы, у которых второй коэффициент без множителя Неопределенные бинарные квадратичные формы, т. е.:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Если в бинарной квадратичной форме (1) коэффициенты Неопределенные бинарные квадратичные формы являются целыми числами, тогда эту форму называют классической целой или целочисленной по Гауссу.

В данной работе классические квадратичные формы будем называть численными.

Если существует линейная подстановка переменных Неопределенные бинарные квадратичные формы(2) с целыми коэффициентами Неопределенные бинарные квадратичные формы и определителем Неопределенные бинарные квадратичные формы, переводящая форму Неопределенные бинарные квадратичные формы в форму Неопределенные бинарные квадратичные формы, такая, что выполняется равенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы, (3),

тогда бинарные целочисленные квадратичные формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы называются собственно эквивалентными.

Иначе, если целочисленная подстановка (2) с определителем Неопределенные бинарные квадратичные формы переводит форму Неопределенные бинарные квадратичные формы в форму Неопределенные бинарные квадратичные формы, бинарные квадратичные формы называются несобственно-эквивалентными.

Полученные эквивалентные формы обозначим следующим образом: Неопределенные бинарные квадратичные формы~ Неопределенные бинарные квадратичные формы

Из (2) и (3) вытекают соотношения, связывающие коэффициенты двух эквивалентных форм Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Неопределенные бинарные квадратичные формыНеопределенные бинарные квадратичные формы (4)

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Эквивалентные бинарные квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант, т.е. число Неопределенные бинарные квадратичные формы бинарной квадратичной формы Неопределенные бинарные квадратичные формы

Предположим, что Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно или несобственно эквивалентна форме Неопределенные бинарные квадратичные формы. Значит, опираясь на определение об эквивалентности, можно сказать, что есть такие целые числа Неопределенные бинарные квадратичные формы с определителем Неопределенные бинарные квадратичные формы, при которых выполняются соотношения (4). Отсюда следует:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Эквивалентные бинарные квадратичные формы представляют одно и то же множество целых чисел.

Допустим, что формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы эквивалентны. Значит, есть унимодулярная целочисленная подстановка переменных:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

тогда

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Предположим Неопределенные бинарные квадратичные формы, значит:

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

Таким образом, форма Неопределенные бинарные квадратичные формы — это есть число Неопределенные бинарные квадратичные формы. В связи с тем, что отношение эквивалентности бинарных квадратичных форм имеет свойство симметричности, значит, любое число, которое выглядит, как Неопределенные бинарные квадратичные формы можно заменить на Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Свойствами рефлективности симметричности и транзитивности обладает отношение собственной эквивалентности бинарных квадратичных форм.

Следуя этому утверждению, можно сказать, что если для целого числа Неопределенные бинарные квадратичные формы при некоторых целых Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы, а также для квадратичной формы Неопределенные бинарные квадратичные формы выполняется равенство Неопределенные бинарные квадратичные формы, значит, квадратичная форма Неопределенные бинарные квадратичные формы представляет число Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Множество всех бинарных квадратичных форм эквивалентных форме Неопределенные бинарные квадратичные формы называют классом Неопределенные бинарные квадратичные формы форм.

В силу предложения 2 и определения 5 можно сказать, что множество бинарных квадратичных форм данного дискриминанта распадается на классы форм, собственно эквивалентных относительно унимодулярного целочисленного преобразования переменных (2).

Далее, в зависимости от знака дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы, бинарные квадратичные формы делятся на определенные и неопределенные формы.

Определение 6. Квадратичная форма Неопределенные бинарные квадратичные формы дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы называется определенной, если Неопределенные бинарные квадратичные формы и неопределенной, если Неопределенные бинарные квадратичные формы. Такое определение подсказано тем, что при Неопределенные бинарные квадратичные формы бинарная квадратичная форма принимает значения только одного знака (положительные при Неопределенные бинарные квадратичные формы и отрицательные при Неопределенные бинарные квадратичные формы), а при Неопределенные бинарные квадратичные формы она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм, и мы будем рассматривать в данной работе только неопределенные формы.

Рассмотрим теперь вкратце теорию приведения неопределенных бинарных квадратичных форм. Суть этой теории состоит в выделении в каждом классе так называемых приведенных форм — «стандартных» форм класса. Рассматривая квадратичные формы положительного дискриминанта, будем считать ее коэффициенты произвольными вещественными числами. Кроме того, будем предполагать, что крайние коэффициенты Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы формы Неопределенные бинарные квадратичные формы отличны от нуля и корни уравнения Неопределенные бинарные квадратичные формы вещественны, различны и иррациональны.

Назовем корень Неопределенные бинарные квадратичные формы этого уравнения первым, а Неопределенные бинарные квадратичные формы— вторым корнем формы Неопределенные бинарные квадратичные формы (см. [1]), причем Неопределенные бинарные квадратичные формы есть дискриминант формы Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Определение 7. Неопределенная квадратичная форма

Неопределенные бинарные квадратичные формы с корнями Неопределенные бинарные квадратичные формы называется приведенной, если Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Покажем, что у приведенной формы Неопределенные бинарные квадратичные формы выполняются неравенства Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, причем Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы заключаются между Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы. В самом деле, из условия Неопределенные бинарные квадратичные формы получаем

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы

Далее, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, т.е. выполняется указанное неравенство Неопределенные бинарные квадратичные формы. Обратимся теперь к условиям:

Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы. Из них следуют

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы (*)

Аналогично имеем

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы (**)

Покажем теперь, что Неопределенные бинарные квадратичные формы. Допустим, что Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда из неравенств (*) и (**) следуют

Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы

Но последние два неравенства не могут одновременно выполняться. Значит, наше допущение, что Неопределенные бинарные квадратичные формы неверно, и мы получаем неравенства Неопределенные бинарные квадратичные формы. Наконец, покажем, что

Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы

Т.к. Неопределенные бинарные квадратичные формы, то из неравенств (*) и (**) получаем Неопределенные бинарные квадратичные формы. С учетом этих неравенств и равенства Неопределенные бинарные квадратичные формы, мы получим и неравенства для Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Обратно, система неравенств

Неопределенные бинарные квадратичные формы или Неопределенные бинарные квадратичные формы

характеризует приведенность неопределенной формы Неопределенные бинарные квадратичные формы. Поэтому определению приведенной формы можно придать следующий вид.

Определение 8. Бинарная квадратичная форма Неопределенные бинарные квадратичные формы дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы называется приведенной, если

Неопределенные бинарные квадратичные формы

или

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Без доказательства приведем следующее свойство приведенных форм.

Предложение 4. Каждая форма дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно эквивалентна некоторой приведенной форме.

Доказательство см. [1,2]. В [1] используется аппарат непрерывной дроби, а в [2] понятие соседней формы.

Определение 9. Целочисленная квадратичная форма Неопределенные бинарные квадратичные формы называется собственно примитивной, если наибольший общий делитель ее коэффициентов равен Неопределенные бинарные квадратичные формы, т.е

НОД Неопределенные бинарные квадратичные формы и несобственно примитивной, если

НОД Неопределенные бинарные квадратичные формы. В остальных случаях форма называется непримитивной.

Определение 10. Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы— наибольший общий делитель чисел Неопределенные бинарные квадратичные формы для формы Неопределенные бинарные квадратичные формы определителя Неопределенные бинарные квадратичные формы. Множество бинарных квадратичных форм с одними и теми же Неопределенные бинарные квадратичные формы и (при Неопределенные бинарные квадратичные формы) с одним и тем же знаком крайних коэффициентов Неопределенные бинарные квадратичные формы называется порядком форм.

Так как Неопределенные бинарные квадратичные формы и знаки получающихся коэффициентов Неопределенные бинарные квадратичные формы при Неопределенные бинарные квадратичные формы не меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок состоит из нескольких классов.

При Неопределенные бинарные квадратичные формы формы и порядок называются собственно примитивными, а при Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы ( Неопределенные бинарные квадратичные формы) — несобственно примитивными. Собственно и классы форм называются собственно примитивными и несобственно примитивными.

Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.

Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с заданным дискриминантом конечно.

Доказательство см. [2,п.185]

О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений

Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм. Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные свойства периодов неопределенных форм.

Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем (см. [1,2]).

Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме Неопределенные бинарные квадратичные формы называется форма Неопределенные бинарные квадратичные формы, которая получается из формы Неопределенные бинарные квадратичные формы подстановкой Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы — некоторое целое число.

Заметим, что при такой подстановке форма Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно эквивалентна форме Неопределенные бинарные квадратичные формы. Зависимость между соседними формами Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы можно охарактеризовать так: во-первых, формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы имеют одинаковый дискриминант; во-вторых, последний коэффициент Неопределенные бинарные квадратичные формы формы Неопределенные бинарные квадратичные формы является вместе с тем первым коэффициентом формы Неопределенные бинарные квадратичные формы; в третьих, сумма их средних коэффициентов Неопределенные бинарные квадратичные формы делится на Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Аналогичным образом определяется соседняя слева форма Неопределенные бинарные квадратичные формы к форме Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Из определения соседних форм непосредственно следует предложение 1: соседние формы собственно эквивалентны.

С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы— приведенная форма дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы, и для нее Неопределенные бинарные квадратичные формы является соседней справа; для Неопределенные бинарные квадратичные формы форма Неопределенные бинарные квадратичные формы является соседней справа; для Неопределенные бинарные квадратичные формы форма Неопределенные бинарные квадратичные формы является соседней справа и т.д. Тогда все формы Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,…, являются собственно эквивалентными между собой, так и форме Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом конечно, то в бесконечном ряду форм Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,… не все формы могут быть различными между собой. Если предположить, что Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы совпадают, то формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы будут приведенными соседними слева для одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,… обязательно повторится первая форма Неопределенные бинарные квадратичные формы и если Неопределенные бинарные квадратичные формы— первая форма в этом ряду, совпадающая с Неопределенные бинарные квадратичные формы, то все формы Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,…, Неопределенные бинарные квадратичные формыразличны между собой.

Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных неопределенных форм Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,…, Неопределенные бинарные квадратичные формыназывается периодом формы Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их определения (см. [2]).

Предложение 2. Если формы Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,… представлены следующим образом

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,…, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,…, то все величины Неопределенные бинарные квадратичные формы будут иметь одинаковые знаки, причем Неопределенные бинарные квадратичные формы все будут положительны.

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период заданной формы Неопределенные бинарные квадратичные формы, всегда четно.

Доказательство предложения 3 см. [1,2].

Заметим, что каждая форма Неопределенные бинарные квадратичные формы, которая содержится в периоде формы Неопределенные бинарные квадратичные формы, будет иметь тот же период, что и Неопределенные бинарные квадратичные формы.Именно, этот период будет таков:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Отсюда получается следующее свойство периодов.

Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.

Доказательство (см. [2] разд. V , п.187) основано на том их свойстве, что периоды либо совпадают, либо они попарно не пересекаются, и каждая форма попадет только в один из периодов.

Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом Неопределенные бинарные квадратичные формы разбиваются на следующие шесть периодов:

I. Неопределенные бинарные квадратичные формы;

II. Неопределенные бинарные квадратичные формы;

III. Неопределенные бинарные квадратичные формы;

IV. Неопределенные бинарные квадратичные формы;

V. Неопределенные бинарные квадратичные формы;

VI . Неопределенные бинарные квадратичные формы

Видим, что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.

Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных бинарных квадратичных форм.

Определение 3. Формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы, и их классы называются обратными: если Неопределенные бинарные квадратичные формы— один из этих классов, то другой класс Неопределенные бинарные квадратичные формы будет обратным к классу Неопределенные бинарные квадратичные формы в смысле композиции классов.

Замечание. Так как форма Неопределенные бинарные квадратичные формы переводится в форму Неопределенные бинарные квадратичные формы подстановкой Неопределенные бинарные квадратичные формы определителя Неопределенные бинарные квадратичные формы, то каждая форма класса Неопределенные бинарные квадратичные формы несобственно эквивалентна каждой форме из обратного класса Неопределенные бинарные квадратичные формы , и обратно, при несобственной эквивалентности двух форм, их классы будут обратными. (При этом еще учитывается, что если форма Неопределенные бинарные квадратичные формы несобственно эквивалентна Неопределенные бинарные квадратичные формы, а Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно эквивалентна Неопределенные бинарные квадратичные формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы несобственно эквивалентна Неопределенные бинарные квадратичные формы).

Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным, называется двусторонним классом.

Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается предложение 5: каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна самой себе.

Доказательство. Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы— двусторонний класс и Неопределенные бинарные квадратичные формы. Покажем, что Неопределенные бинарные квадратичные формы несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Тогда форма Неопределенные бинарные квадратичные формы , и пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы переводится в Неопределенные бинарные квадратичные формы подстановкой Неопределенные бинарные квадратичные формы , и запишем это в следующем виде: Неопределенные бинарные квадратичные формы. Т. к. Неопределенные бинарные квадратичные формы — двусторонний класс, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы. Но так как Неопределенные бинарные квадратичные формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно эквивалентны, то найдется подстановка Неопределенные бинарные квадратичные формы определителя Неопределенные бинарные квадратичные формы, что Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда получаем Неопределенные бинарные квадратичные формы, т. е. Неопределенные бинарные квадратичные формы. Но так как Неопределенные бинарные квадратичные формы, то форма Неопределенные бинарные квадратичные формы несобственно эквивалентна самой себе.

Предложение 5 доказано.

Определение 5. Форма Неопределенные бинарные квадратичные формы, в которой Неопределенные бинарные квадратичные формы делится на Неопределенные бинарные квадратичные формы, называется двусторонней.

Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении двусторонних классов.

Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна двусторонняя форма .

Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.

Доказательство этих предложений имеются в [1,2].

Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа. Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема.

Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому двустороннему классу.

Доказательство. Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы — двусторонняя форма, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы ( Неопределенные бинарные квадратичные формыделится на Неопределенные бинарные квадратичные формы), и обозначим ее класс через Неопределенные бинарные квадратичные формы. Покажем, что Неопределенные бинарные квадратичные формы— двусторонний класс. По определению, обратная к Неопределенные бинарные квадратичные формы форме Неопределенные бинарные квадратичные формы. Так как Неопределенные бинарные квадратичные формы, то форма Неопределенные бинарные квадратичные формы переводится в себя подстановкой Неопределенные бинарные квадратичные формы. Далее имеем, что Неопределенные бинарные квадратичные формы переводится в Неопределенные бинарные квадратичные формы подстановкой

Неопределенные бинарные квадратичные формы

определителя 1, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно эквивалентны. Тогда они принадлежат одному и тому же классу, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы , и значит, Неопределенные бинарные квадратичные формы— двусторонний класс

Теорема 1 доказана.

В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того, что двусторонние приведенные формы будут соседними.

Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы из двустороннего класса дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы были соседними необходимо, чтобы Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы — целая часть числа Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Доказательство. Пусть формы Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы соседние. Тогда Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы— некоторое целое число. Так как Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы — двусторонние формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы, где последнюю делимость можно заменить следующим условием: Неопределенные бинарные квадратичные формы или что тоже самое Неопределенные бинарные квадратичные формы, откуда Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда в силу взаимной простоты Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы (это следует из примитивности формы Неопределенные бинарные квадратичные формы) из условий делимости Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы следует, что Неопределенные бинарные квадратичные формы. Но так как Неопределенные бинарные квадратичные формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы или, что то же самое: Неопределенные бинарные квадратичные формы. Из последнего условия делимости следует неравенство Неопределенные бинарные квадратичные формы, откуда Неопределенные бинарные квадратичные формы. Но так как форма Неопределенные бинарные квадратичные формы приведенная, то для числа Неопределенные бинарные квадратичные формы должны выполняться неравенства Неопределенные бинарные квадратичные формы, из которых в свою очередь следует, что Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Теорема 2 доказана.

Пример. Для Неопределенные бинарные квадратичные формы следующие четыре периода по две соседние двусторонние формы.

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы 

При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к. Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние формы будут соседними в очень малом числе случаев, и в большинстве случаев они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные двусторонние формы будут соседними, по-видимому, является очень трудным, и мы его не рассматриваем.

Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм

О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и о числе классов неопределенных квадратичных форм, известно очень мало. Для числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле. Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому математику Зигелю.

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

где Неопределенные бинарные квадратичные формы — число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы; Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы — положительные постоянные, зависящие от Неопределенные бинарные квадратичные формы; причем Неопределенные бинарные квадратичные формы — любое фиксированное положительное число. Наша цель состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в неравенствах Зигеля для Неопределенные бинарные квадратичные формы. Приводимое доказательство будет опираться на некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа, и мы их приведем вначале.

Арифметическая функция Неопределенные бинарные квадратичные формы определяется как число положительных делителей натурального числа Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Предложение 1. Функция Неопределенные бинарные квадратичные формы мультипликативна, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы, если Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Из этого предложения 1 легко выводится следующее.

Предложение 2. Если Неопределенные бинарные квадратичные формы— каноническое разложение натурального числа Неопределенные бинарные квадратичные формы, то

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по теории чисел (напр. см. [4,6]).

Предложение 3. Для числа Неопределенные бинарные квадратичные формы делителя натурального числа имеет место неравенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Доказательство. Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы— канонические разложения чисел Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы, и пусть

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы,…, Неопределенные бинарные квадратичные формы— все простые делители наибольшего общего делителя чисел Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда ясно, что

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы. (1)

Но так как справедливо неравенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы Неопределенные бинарные квадратичные формы, (2)

то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие соотношения:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Предложение 3 доказано.

Предложение 4. Для Неопределенные бинарные квадратичные формы имеет место неравенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

где Неопределенные бинарные квадратичные формы —произвольное положительное число, Неопределенные бинарные квадратичные формы —постоянная, зависящая только от Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство имеется также в [3]). Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы— каноническое разложение числа Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда имеем:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Рассмотрим отношение Неопределенные бинарные квадратичные формы, в случаях Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Если Неопределенные бинарные квадратичные формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы, так как Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Если Неопределенные бинарные квадратичные формы, то считая Неопределенные бинарные квадратичные формы, получим:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Поэтому Неопределенные бинарные квадратичные формы

Следовательно, полагая Неопределенные бинарные квадратичные формы, получим неравенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Предложение 4 доказано.

Следующее предложение характеризует среднее значение Неопределенные бинарные квадратичные формы в нужной для нас форме

Предложение 5. Для Неопределенные бинарные квадратичные формы имеет место следующая оценка сверху:

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

где Неопределенные бинарные квадратичные формы— постоянная Неопределенные бинарные квадратичные формы

Доказательство. Имеем:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой четверти, лежащих на или под гиперболой Неопределенные бинарные квадратичные формы, при этом целые точки, лежащие на осях координат, исключаются, так как для них Неопределенные бинарные квадратичные формы. Поэтому исследуемую сумму можно записать в виде:

Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы — целая часть числа Неопределенные бинарные квадратичные формы

Оцениваем теперь сумму:

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

где Неопределенные бинарные квадратичные формы

Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

где

Неопределенные бинарные квадратичные формы

есть так называемая постоянная Эйлера.

Предложение 5 доказано.

Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.

Теорема (Зигель). Для числа Неопределенные бинарные квадратичные формы всех приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы справедливо неравенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы,

где Неопределенные бинарные квадратичные формы— произвольное положительное число, Неопределенные бинарные квадратичные формы — постоянная, зависящая только от Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Доказательство. Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы — неопределенная приведенная форма дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда Неопределенные бинарные квадратичные формы,

Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы

Оценим сверху число приведенных форм с Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы. Тогда

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы

Теорема доказана.

О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде

В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем соответствующие понятия.

Определение 1. Целое число Неопределенные бинарные квадратичные формы, не делящееся на простое число Неопределенные бинарные квадратичные формы, называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число Неопределенные бинарные квадратичные формы сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю Неопределенные бинарные квадратичные формы, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы — квадратичный вычет по модулю Неопределенные бинарные квадратичные формы, если сравнение Неопределенные бинарные квадратичные формы имеет решение; в противном случае число Неопределенные бинарные квадратичные формы называется квадратичным невычетом по модулю Неопределенные бинарные квадратичные формы. В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так называемого символа Лежандра.

Определение 2. Символом Лежандра Неопределенные бинарные квадратичные формы числа Неопределенные бинарные квадратичные формы по простому модулю Неопределенные бинарные квадратичные формы, которое определяется следующим соотношением:

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам понадобятся.

Свойство 1 . Неопределенные бинарные квадратичные формы, если Неопределенные бинарные квадратичные формы

Свойство 2 . Если Неопределенные бинарные квадратичные формы, то Неопределенные бинарные квадратичные формы (свойство периодичности)

Свойство 3 . Неопределенные бинарные квадратичные формы (свойство мультипликативности)

Свойство 4 . Неопределенные бинарные квадратичные формы, если Неопределенные бинарные квадратичные формы

Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.

Пусть Неопределенные бинарные квадратичные формы— простой делитель дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы, и пусть число всех этих различных модулей Неопределенные бинарные квадратичные формы равно Неопределенные бинарные квадратичные формы. Можно показать, что если Неопределенные бинарные квадратичные формы — один из этих Неопределенные бинарные квадратичные формы модулей, то для всех чисел Неопределенные бинарные квадратичные формы, представимых данной собственно примитивной формой дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы и взаимно простых с Неопределенные бинарные квадратичные формы, символы Лежандра Неопределенные бинарные квадратичные формы имеют одно и то же значение. В самом деле, пусть

Неопределенные бинарные квадратичные формы — собственно примитивная форма дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы — любой нечетный простой делитель числа Неопределенные бинарные квадратичные формы, и Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы — два числа, представляемых формой Неопределенные бинарные квадратичные формы и не делящихся на Неопределенные бинарные квадратичные формы. Подстановка Неопределенные бинарные квадратичные формы определителя Неопределенные бинарные квадратичные формы переводит Неопределенные бинарные квадратичные формы в форму Неопределенные бинарные квадратичные формы (см. соотношения (3) §1), причем Неопределенные бинарные квадратичные формы, откуда Неопределенные бинарные квадратичные формы, т.е. в силу определения символа Лежандра имеем Неопределенные бинарные квадратичные формы. Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Символ Лежандра Неопределенные бинарные квадратичные формы имеет одно и то же значение для всех чисел Неопределенные бинарные квадратичные формы, представляемых формой Неопределенные бинарные квадратичные формы. Выпишем эти символы Лежандра, которые все равны Неопределенные бинарные квадратичные формы или Неопределенные бинарные квадратичные формы для всех Неопределенные бинарные квадратичные формы указанных модулей Неопределенные бинарные квадратичные формы, взятых в определенном выбранном порядке.

Тогда для данной квадратичной формы получается некоторая определенная последовательность Неопределенные бинарные квадратичные формы чисел, равных Неопределенные бинарные квадратичные формы. Эта последовательность чисел, равных Неопределенные бинарные квадратичные формы , и называется характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной формы дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы или характером класса этой формы.

Так как число всех различных последовательностей, составленных из Неопределенные бинарные квадратичные формы членов, равных Неопределенные бинарные квадратичные формы или Неопределенные бинарные квадратичные формы равно Неопределенные бинарные квадратичные формы, то число различных характеров форм данного дискриминанта, а следовательно, и число родов не больше, чем Неопределенные бинарные квадратичные формы. Чтобы решить вопрос о точном числе родов, Гаусс вводит в рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных форм.

Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о числе родов и о числе классов в каждом роде.

Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно и то же число классов,

Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы— число родов, Неопределенные бинарные квадратичные формы— число всех классов, Неопределенные бинарные квадратичные формы— число классов в каждом роде.

Если для каждого квадратного делителя Неопределенные бинарные квадратичные формы дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы выполнены условия:

НОД Неопределенные бинарные квадратичные формы, Неопределенные бинарные квадратичные формы Неопределенные бинарные квадратичные формы простого Неопределенные бинарные квадратичные формы,

то для числа Неопределенные бинарные квадратичные формы классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Примем Неопределенные бинарные квадратичные формы за собственно примитивную форму дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы.

НОД Неопределенные бинарные квадратичные формы.Она является целым числом Неопределенные бинарные квадратичные формы, т.е. Неопределенные бинарные квадратичные формы при некоторых целых Неопределенные бинарные квадратичные формы и Неопределенные бинарные квадратичные формы. Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы— целое число. Значит, символ Лежандра числа Неопределенные бинарные квадратичные формы равен

Неопределенные бинарные квадратичные формы

При любом Неопределенные бинарные квадратичные формы получаем Неопределенные бинарные квадратичные формы

Это говорит о том, что форма Неопределенные бинарные квадратичные формы принадлежит главному роду. Число форма приравнивается числу квадратных делителей Неопределенные бинарные квадратичные формы дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы с условием НОД Неопределенные бинарные квадратичные формы

Тогда получаем:

Неопределенные бинарные квадратичные формы с условием Неопределенные бинарные квадратичные формы

Такая оценка справедлива также для числа классов всех остальных родов

Неопределенные бинарные квадратичные формы — диагональная форма дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы. Эта форма не эквивалентна никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.

Предположим, что

Неопределенные бинарные квадратичные формы (1)

дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы собственно эквивалентна другой диагональной форме.

Неопределенные бинарные квадратичные формы (2)

того же дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Определим целочисленную унимодулярную подстановку Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Эта подстановка заменяет форму Неопределенные бинарные квадратичные формы в форму Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Получаем:

Неопределенные бинарные квадратичные формы , (3)

где

Неопределенные бинарные квадратичные формы (4)

Преобразуя данные выражения находим

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Неопределенные бинарные квадратичные формы

Однако необходимо форму Неопределенные бинарные квадратичные формы Неопределенные бинарные квадратичные формы (5) привести к диагональной. Для это перепишем форму Неопределенные бинарные квадратичные формы:

Неопределенные бинарные квадратичные формы. (6)

В связи с тем, что Неопределенные бинарные квадратичные формыимеет тот же дискриминант, что и Неопределенные бинарные квадратичные формыполучим:

Неопределенные бинарные квадратичные формы, (7)

и аналогично

Неопределенные бинарные квадратичные формы;

Неопределенные бинарные квадратичные формы;

Неопределенные бинарные квадратичные формы (8)

Принимая во внимание условие, указанное выше форма (8) будет иметь вид:

Неопределенные бинарные квадратичные формы, что противоречит условию (4).

Число родов бинарных квадратичных форм в данном собственно примитивном порядке дискриминанта Неопределенные бинарные квадратичные формы равно Неопределенные бинарные квадратичные формы, где Неопределенные бинарные квадратичные формы определяется следующими условиями:

Неопределенные бинарные квадратичные формы при Неопределенные бинарные квадратичные формы,

Неопределенные бинарные квадратичные формы при Неопределенные бинарные квадратичные формы,

Неопределенные бинарные квадратичные формы при Неопределенные бинарные квадратичные формы,

при этом Неопределенные бинарные квадратичные формы — число различных простых делителей числа Неопределенные бинарные квадратичные формы.

Данное высказывание используется в оценке снизу числа классов в роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного порядка.

Список литературы

Бухштаб А. А. Теория чисел. М., 1966.

Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959.

Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937.

Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М., «Наука», 1980.

Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. М., Мир. 1974.

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М., Наука. 1972 с. 267

©2007—2016 Пуск!by | По вопросам сотрудничества обращайтесь в contextus@mail.ru